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20 octobre 2010 3 20 /10 /octobre /2010 10:10

Les fonctions représentent, de manière mathématique, les phénomènes physiques qui nous entourent : circulation de l'air, de l'eau, temperature, fonctionnement d'une automobile, lancer d'une fusée, risques financiers etc.

Le but est donc de savoir comment varie par exemple la consommation d'essence en fonction du nombre de kilomètres parcourrus, ou en fonction du poids des bagages. Alors pour savoir si justement, cela augmente, ou cela diminue, ou les 2 suivant les valeurs du paramètre (ici le poids des bagages)  choisi, on étudie les variations de la fonction:  f(poids des bagages)=consommation d'essence, ou plutot, f(x)=y.

 

Comment ça fonctionne?

Si, lorsque la variable augmente, alors la fonction augmente, OU SI , lorsque la variable diminue, alors la fonction diminue, on dit que la fonction est croissante.
Par exemple, la consommation d'essence augmente lorsque le poids des bagages augmente, et elle diminue lorsque le poids des bagages diminue.

Si, lorsque la variable augmente, la fonction diminue, OU SI lorsque la variable diminue, la fonction augmente, on dit que la fonction est décroissante.
Par exemple le nombre de radiateurs allumés en fonction de la température extérieure: Plus il fait chaud, moins il y a de radiateurs allumés et moins il fait chaud, plus il y a de radiateurs allumés.

 

Le cours dit :

  • si a < b et f(a) < f(b) OU si a > b et f(a) > f(b)   alors f est croissante
  • si a < b et f(a) > f(b) OU si a > b et f(a) < f(b)   alors f est décroissante

graphcr-copie-1.jpg  graphdecr.jpg

 

 

 

 

 

 

 

             
                fonction croissante                                                            fonction décroissante

 

Méthodes:

En seconde, il n'y a pas 36 méthodes pour étudier les variations d'une fonction. Vous ne pouvez d'ailleurs pas étudier les variations de toutes les fonctions, car la méthode apprise cette année ne le permet pas. Mais il faut toujours un début !  De manière général, il s'agit de manipuler des inégalités.

On prend 2 antécédents (donc des x) dans un certain ordre, a et b avec a<b par exemple. Et on "habille" a et b de façon à obtenir f(a) et f(b) et à les comparer (savoir lequel est le plus grand ou lequel est le plus petit).

Exemple 1 : Trouver les variations de f(x) = 4x - 6 sur IR
Soit a, b 2 réels avec a<b. Alors:
4a < 4b (multiplication par un réel positif, je ne change pas le signe de l'inégalité)
4a - 6 < 4b - 6 ( j'enlève 6 à droite et à gauche, cela ne change rien)
donc f(a) < f(b) :  La fonction est croissante car a<b implique f(a) < f(b)

Exemple 2 : Trouver les variations de f(x) = -5x + 8 sur IR
Soit a, b 2 réels avec a<b. Alors:
-5a > -5b ( multiplication par un réel négatif, je change le signe de l'inégalité)
-5a + 8 > -5b + 8  ( je rajoute 8 à droite et à gauche, cela ne change rien)
donc f(a) > f(b): La fonction est décroissante car a<b implique f(a) > f(b)

 

Le tableau de variations

Les résultats des variations peuvent être récapitulés dans un tableau de variations. Dans certains exos, on vous demande de le créer à partir d'un graphique, mais on peut aussi vous le donner et vous demander de l'interpréter.

Exo Type 1 : Tracer le tableau de variations de cette fonction :

fonctionquelconque.png

On récapitule les indications données par ce graphique : le domaine de définition est ]-2, 4[. Il y a 3 extremum locaux, (les points où la courbe change de variation) : en -1, il vaut 3, en 1 il vaut -5, en 3 il vaut 3. D'où le tableau suivant :

tableauvar1.jpg

Exo Type 2 : Interpréter le tableau de variations précédent :
Ici, vous devez indiquer sur quels intervalles la fonction est croissante et/ou décroissante, ainsi que le lieu et la valeur des extremum locaux ( lieu = en quel x / valeur = en quel y). On répond donc:
- f(x) est croissante sur ]-2, -1[U]1, 3[   et f(x) est décroissante sur ]-1, 1[U]3, 4[   (on lit les intervalles de x où f est croissante puis décroissante)
- f(x) possède 3 extremum locaux : en -1, il vaut 3, en 1 il vaut -5 et en 3 il vaut 3.
- Le minimum de f(x) vaut -10, il est atteint en -2 et 4. Le maximum de f vaut 3, il est atteint en -1 et 3.

 

Astuces et conseils

Comment savoir à quel moment je parle de x, à quel moment je parle de y : Dès qu'on dit "en ....", alors il s'agit d'un x. Mais si vous parlez de la valeur d'un extremum local, d'un changement de variation ou de la valeur d'un maximum et d'un minimum, alors il s'agit de f, donc de y. Les x se lisent sur la première ligne du tableau de variations, les y ( c'est à dire les f(x) ) se lisent sur la 2ième ligne, là où il y a les flèches.

Comment résoudre graphgiquement une équation ou une inéquation : il faut aller lire l'autre chapitre .

Que veut dire "comparer" ? comparer A et B signifie chercher quel est le plus grand et quel est le plus petit, donc mettre >  ou < entre A et B.

Un extremum est-il obligatoirement un maximum ou un minimum? NON. Un extremum est un endroit où la courbe change de variation. Ce n'est pas obligatoirement un max ou un min.

 

 

Pour un entraînement efficace sur d'autres démonstrations par récurrence, pour vérifier que vous avez compris le chapitre et pour vous préparer au prochain contrôle, faites appel à mes services de cours par correspondance... Renseignez-vous    ICI.

 

 

 


 

 

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Published by Joséphine - dans Maths Seconde
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