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14 décembre 2010 2 14 /12 /décembre /2010 16:32

 

Dans le chapitre des complexes, une grande part est faite à la géométrie. L'essentiel des exercices traitant de géométrie consistent à trouver des ensembles de points M d'affixe z tels que ceci ou tels que cela.
Beaucoup de ces exos sont également résolvables par le calcul, il faut simplement faire attention à l'énoncé pour savoir quelle méthode choisir.

 

  • Le cours, l'essentiel à savoir:

Soient 2 points A et B d'affixes zA et zB, formule pour calculer la distance AB :
CompG1

Soient 4 points A,B,C,D d'affixes zA, zB, zC, zD, formule pour l'angle orienté (AB, CD):
CompG2

 

  • Exercice type : Soit le complexe Z, déterminé en fonction de z par la formule :

CompG10

Les questions posées en général sont :
1) Interpréter géométriquement le module et un argument de Z
2) Trouver l'ensemble des points M d'affixe z tels que Z € IR, ou IR+, ou IR-
3) Trouver l'ensemble des points M d'affixe z tels que Z € Im purs
4) Trouver l'ensemble des points M d'affixe z tels que |Z| = 1

 

Comment répondre:

1) LE module car il n'y en a qu'1, et UN argument car il en existe une infinité à 2π près.

Cette question n'est QUE du cours.   On pose zA = 2 - 3i et zB = -1 + i, et zM = z
CompG6CompG7Le module de Z correspond au quotient des distances AM et BM, et un argument correspond à l'angle orienté (MB, MA)

 

2) Si Z € IR, alors Z se situe sur l'axe des abcisses. On ne peut rien dire sur son module, par contre son argument vaut 0 ou π.  On cherche donc z tel que arg(Z) = 0 ou π
Soit  CompG16.jpg
Donc M € (AB) \ {A,B}  ( M € à la droite (AB), privée des points A et B car si M=A ou M=B, il n'y a plus d'angle orienté )

 

Si Z € IR+, alors Z se situe sur l'axe des abcisses, à droite. On ne peut rien dire sur son module, par contre son argument vaut 0.  On cherche donc z tel que arg(Z) = 0.
Soit  CompG17.jpg
Donc M € (AB) \ [AB]  ( M € à la droite (AB), privée du segment [AB] pour que l'angle orienté soit nul)

 

Si Z € IR+, alors Z se situe sur l'axe des abcisses, à gauche. On ne peut rien dire sur son module, par contre son argument vaut  π.  On cherche donc z tel que arg(Z) =  π.
Soit  CompG18.jpg
Donc M €  [AB]  \ {A,B} ( M €  au segment [AB], privée des points A et B car si M=A ou M=B, il n'y a plus d'angle orienté)

 

3) Si Z € Im purs, alors Z se situe sur l'axe des ordonnées. On ne peut rien dire sur son module, par contre son argument vaut  π/2 ou -π/2. On cherche donc z tel que arg(Z) = π/2 ou -π/.
CompG19.jpg d'où  CompG20.jpg   (M €  au Cercle de diamètre [AB], privé des points A et B car si M=A ou M=B, il n'y a plus d'angle orienté)

 

4) |Z| = 1 : On cherche z tel que |Z| = 1
CompG15


Les questions 2 et 3 peuvent être résolues par le calcul : on remplace z par x+iy dans Z, puis on écrit Z sous forme algébrique en fonction de x et y.

2) On résoud Im(Z) = 0 et on trouve une équation de droite sous la forme y = ax + b , qui est l'équation de la droite (AB)
3) On résoud Re(Z) = 0 et on trouve une équation de cercle de centre I milieu de [AB] et de rayon AB/2.

 

A vous !!

 

 

Pour un entraînement efficace, pour vérifier que vous avez compris le chapitre et pour vous préparer au prochain contrôle, faites appel à mes services de cours par internet... Renseignez-vous    ICI.

 


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Published by Joséphine - dans Maths T°S
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