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4 mai 2010 2 04 /05 /mai /2010 19:12

Voici un thème important abordé en Seconde, et qui, mine de rien, ressortira les 2 années suivantes, de façon très régulière. Dans certains sujets de bac, ne pas "voir" que la fonction est paire ou impaire peut empêcher toute résolution de l'exercice posé.

 

Par définition:

 

Une fonction est paire sur un intervalle [a,b] si:

  • pour tout x € [a,b], -x € [a,b]
  • f(-x) = f(x)

Une fonction est impaire sur un intervalle [a,b] si:

  • pour tout x € [a,b], -x € [a,b]
  • f(-x) = -f(x)

Graphiquement:

la représentation d'une fonction paire est une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées,

la représentation d'une fonction impaire est une courbe symétrique par rapport à l'origine du repère.

 

paire.gif                                       impaire.gif

 

                       Fonction Paire                                                                        Fonction Impaire         

 

 

Ca, c'est le cours, la théorie.

 

Mais.. comme d'habitude, on va se poser les bonnes questions..

 

 

  A quoi ça sert ???

 

Lorsque vous étudiez une fonction ( ses variations, ou pour les 1ere et Terminales, ses limites, ses asymptotes etc), vous devez l'étudier sur son ensemble de définition.

Si Df est centré sur 0, et que vous montrez au départ que la fonction est paire ou impaire, alors vous pourrez  ne l'étudier que sur IR+ par exemple.

Ensuite, vous déduirez les variations de f sur IR- par symétrie axiale si f est paire, et par symétrie centrale si f est impaire.

 

Bref, ca diminue le travail....

 

Comment fait-on? Quelles questions va-t'on me poser?

 

On vous donne une fonction et son ensemble de définition.

 

  • Tout d'abord, il faut vérifier que si x€Df, alors -x€Df

 

Exemples :

  • Df = [-5, 5].

Si x €  [-5, 5], alors -x € [-5, 5]

  • Df = [-10, 5]

Si x €  [-10, 5], alors -x € [-5, 10], or [-5, 10] n'est pas inclu dans [-5, 5], donc -x n'appartient pas à Df

Conclusion, f ne peut déjà pas être paire, ni impaire.

 

  • Ensuite, si la question est " Etudier la parité de f"

Il faut écrire :

f(-x)  = ... et donner l'expression de f(-x) en fonction de x.

 

- Si les expressions de f(-x) et de f(x) sont identiques, alors f est paire.

- Si l'expression de f(-x) est identique à l'opposé de f(x) ( c'est à dire -f(x)), alors f est impaire

- Sinon, f n'est ni paire ni impaire.

 

  • Si la question est " Montrer que f est paire",

On écrit l'expression de f(-x), et on tente de retrouver l'expression de f(x)

 

  • Si la question est " Montrer que f est impaire",

On écrit l'expression de f(-x), et on tente de retrouver l'expression de -f(x)

 

 

Et c'est tout.... !!

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Published by drille - dans Maths Seconde
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