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13 octobre 2010 3 13 /10 /octobre /2010 06:00

Une nouvelle méthode de démonstration débarque cette année : la récurrence. Elle s'applique au chapitre des suites.

 

Le principe :

On montre qu'une proposition est vraie à un rang (le premier en général).
Puis, on fait l'hypothèse qu'il existe un rang quelconque, que l'on nomme k, où la proposition est vrai, et on démontre que, sachant cela, la proposition est vraie au rang suivant k+1.

Du coup, comme la proposition est vraie au rang 1, alors elle est vraie au rang 2,
Et comme la proposition est vraie au rang 2, alors elle est vraie au rang 3,
Et comme la proposition est vraie au rang 3, alors elle est vraie au rang 4,
et ainsi de suite....
La proposition est donc vraie à tous les rangs ! Youpi c'est trop facile !!! ............Non?

 

La rédaction:

Elle diffère suivant les profs, mais au final elles veulent toutes dire la même chose :

Soit Pn la proposition au rang n : "........................................."

1) Montrons que P0 est vraie:

2) Supposons qu'il existe un k dans IN tel que Pk est vraie , montrons alors que Pk+1 est vraie.

3) On a montré que Pn est vraie au premier rang, et qu'elle est héréditaire, donc Pn est vraie pour tout n dans IN. 

 

La méthode:  

  • Première étape, montrer que la proposition est vraie au 1er rang :

En général c'est très facile, sauf que ça l'est tellement qu'on a parfois des difficultés à la rédiger! Il faut montrer que la proposition est vraie au 1er rang, donc pour n=0 si n€IN, pour n=1 si n€IN*, ou même pour n=6 si n>5 ! 

  • Exemple 1 : Montrer que pour tout n de IN*, 0≤ Un ≤1:
    rec1
    rec2
    C'est ok, 0≤ U1 ≤1
  • Exemple 2 : Prouver l'égalité :
    rec3
    rec4
    On a bien notre égalité au premier rang.
  • Exemple 3 : Prouver l'inégalité :
         rec5
       rec6
        On a bien notre inégalité au premier rang.
  • 2iè étape, l'hérédité:

On commence par rédiger l'étape telle qu'elle est écrite ci-dessus. Cette étape est la plus compliquée mais faite avec méthode elle peut devenir très simple.

  • Exemple 1 : Prouver l'égalité :

                                   rec3

On ne laisse pas le sigle Somme, on écrire le terme de gauche sous forme d'une addition.

rec16

On écrit Pk et Pk+1 l'une en dessous de l'autre. La première égalité est l'hypothèse de récurrence que l'on a le droit d'utiliser, la deuxième égalité est celle que l'on cherche à trouver.

 On suit le schéma de démonstration suivant :

rec8

On part du terme de gauche de la conclusion, on l'écrit en fonction du terme de gauche de l'hypothèse, on utilise l'hypothèse, et on conclue pour arriver au terme de droite de la conclusion.

Début de la démonstration:
rec13
Or     rec14
On a obtenu le terme de droite de Pk+1, l'étape 2 est terminée.

  • Exemple 2 : Prouver l'égalité:

                                    rec17

On ne laisse pas le sigle Somme, on écrire le terme de gauche sous forme d'une addition.

rec18

On écrit Pk et Pk+1 l'une en dessous de l'autre, puis on suit le schéma de démonstration numéroté.

Début de la démonstration:
rec19
Il ne reste plus qu'à montrer que les expressions suivantes sont égales:
rec20
Pour cela, il suffit de développer et réduire les 2 termes.

  • 3iè étape, on conclue par une simple rédaction puisque tout le travail de démonstration a été fait.
    P0 est vérifiée, Pn est héréditaire, donc pour tout n, Pn est vérifiée.

Astuces diverses:

- On respecte le schéma de l'étape 2.

- On se simplifie la vie : au lieu de s'arracher les cheveux à essayer de factoriser une expression pour montrer qu'elle est égale à une autre, on développe les 2 expressions. Un exemple est dans la section précédente.

- On n'oublie pas que qn+1 = q x qn

- On n'oublie pas que n est toujours positif ou nul.

 

A faire soi-même :

Montrer que  rec5

Montrer que  rec23
Montrer que  rec24
Montrer que  rec25

 

Pour un entraînement efficace sur d'autres démonstrations par récurrence, pour vérifier que vous avez compris le chapitre et pour vous préparer au prochain contrôle, faites appel à mes services de cours par correspondance... Renseignez-vous    ICI.

 

 

 


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Published by Joséphine - dans Maths T°S
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commentaires

De Oliveira 29/11/2011 23:37

Merci beaucoup

De oliveira 29/11/2011 23:12

Merci beaucoup ça m'aide vraiment à comprendre

Joséphine 29/11/2011 23:16



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