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29 novembre 2013 5 29 /11 /novembre /2013 15:47

Si l'élaboration d'un tableau de signes n'est pas le truc le plus compliqué à faire, il n'empêche que, non maîtrisé, il peut vous provoquer bien des soucis. C'est un outil indispensable en maths de la 3ie à la terminale.

 

Revenons donc un peu dessus, du début, à la fin, de façon détaillée.

 

A quoi ça sert ?

 

A connaître le signe d'une expression en x, selon les valeurs de x. C'est donc utile pour

- résoudre des inéquations

- étudier les variations d'une fonction à travers le signe de sa dérivée.

 

Comment fait-on?

 

Le but étant de trouver le signe de l'expression A en fonction des valeurs de x, il faut donc déjà trouver les valeurs de x pour lesquelles A vaut 0, c'est à dire à quel moment A va passer de positive à négative.( c'est la valeur 0 qui separe les valeurs positives des valeurs negatives)

 

Pour trouver ces valeurs, il fait donc résoudre A = 0.

 

Résoudre A = 0

 

Cette résolution doit être faite méthodiquement. Il s'agit déjà de constater la forme de A pour savoir comment procéder.

 

  • Si A est affine

Par exemple A = 5x + 10

Résoudre A = 0

\Leftrightarrow 5x + 10 = 0

\Leftrightarrow 5x = - 10

\Leftrightarrow x = - 2

A  vaut 0 pour x = -2

 

D'où un tableau du genre  :

                 tableau-affine.png

  • Si A est du second degré

Par exemple A = x² + 2x - 3

Résoudre A = 0

→ Utilisation du cours pour trouver les racines d'un polynôme du second degré. Calcul de Delta, on obtient alors 2 racines, x1 = -3 et x2 = 1.
D'où un tableau du genre  : ( en n'oubliant pas la règle : signe de a ( ici a=1 donc a positif) à l'extérieur des racines, signe de -a à l'intérieur. )

                  tableau-second-degre.png

 

  • Si A est une fraction qui n'a du x que en bas ou en haut

Si c'est en haut, alors le dénominateur est une simple valeur fixée, dont il faut juste prendre en compte son signe, et résoudre "numérateur = 0 ".

 

A = (5x + 10) / 3

On procède comme pour A affine ( on résoud 5x + 10 = 0 ) , et on note que le dénominateur est positif, donc ne change rien au tableau de signe du numérateur. Le signe de A est donc le signe de 5x + 10

 

INTERMEDE : TOUT LE MONDE SE RAPPELLE DE LA REGLE DES SIGNES?

 

Rappel : elle ne fonctionne QUE pour les multiplications et les divisions.

+ par + fait  +

+ par - fait -

-  par - fait +

 

Donc si un morceau d'une multiplication ou d'une division est positif, il n'a aucune influence sur le signe de l'expression complete. Ici le numérateur est positif, le signe de 3 n'influence donc en rien le signe de A, qui ne depend donc que du signe du numerateur.

 

FIN DE L'INTERMEDE

 

Si c'est en bas, on procede comme precedemment. La difference sera sur le fait qu'en la valeur de x ou le denominateur vaut 0, alors cette valeur sera dire "interdite".


A = 3 / (5x + 10)

3 est positif, son signe n'a pas d'influence.

on resoud 5x + 10 = 0; donc x = - 2

 

On se retrouve avec le meme tableau que précédemment, sauf qu'en -2 on met une double barre verticale , et pas de 0, pour indiquer que cette valeur est interdite.

Image-6.png

 

 

  • Si A est une fraction rationnelle (qui a du x en bas et en haut)

 a suivre...

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Published by Joséphine - dans Maths Seconde
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