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14 février 2012 2 14 /02 /février /2012 09:00

Le voila, le fameux chapitre des dérivées.....

  • Pour commencer

Il faut savoir que vous allez devoir oublier tout ce que vous avez appris depuis 3 ou 4 mois.
La dérivée d'une fonction est l'outil qui va vous permettre, à présent, de connaître les variations de la fonction associée.
Donc on oublie les inégalités à répétition, les tortures de l'esprit pour trouver les variations d'une fonction composée, associée, translatée, inversée....
Maintenant, c'est + simple ! ( si si... )

 

  • Comment trouver f'(x)

Cette dérivée, on l'appelle f'(x). ( lire "f prime de x" )
Elle se déduit de f(x) par des formules à apprendre, souvent sous forme de tableaux de formules.

Pour savoir quelle formule utiliser, la première question à se poser est : sous quelle forme est f ?
Si c'est un produit, alors j'utilise la formule du produit.
Si c'est un quotient, j'utilise la formule du quotient...
Si c'est une fonction composée, (youpi on adoooooore les fonctions composées), ben... on utilise la formule des fonctions composés, évidemment....

Petit conseil comme ça....
Ecrivez les différentes parties de f sous formes de 2 fonctions, u(x) et v(x). A côté, vous cherchez l'expression de u'(x) et v'(x). Une fois que tout est noté, alors là vous pouvez commencer à écrire f'. Pas avant, sinon, vous allez droit vers l'erreur...

Exemple :
f(x) = (3x+1)cos(x).
f est sous la forme d'un produit, donc du genre uv, dont la dérivée est u'v + uv'.
u(x) = 3x+1               v(x)=cos(x)
u'(x) = 3                    v'(x)=-sin(x)

 

f' = u'v + uv' = 3cos(x) + (3x+1)(-sin(x)) = ( on arrange un peu l'écriture) = 3cos(x) - (3x+1)sin(x)

 

  • A quoi ça sert ?

Une fois f'(x) trouvée, on en étudie le signe.

  • Si f'(x) > 0, alors f est croissante
  • Si f'(x) < 0, alors f est décroissante

Tout ceci consiste donc en une banale étude de signe, que vous apprenez à réaliser depuis la 3ieme.
Tableaux de signes, factorisations, signe d'un produit, d'un quotient, d'un polynôme du 2d degré... tout est utile ici.

 

  • La rédaction :

f(x) = ........
f(x) est du genre ................. , donc f'(x) est du genre.....................
Calcul de f'(x) : ...................
f'(x) = 0 <=> .......
On résoud, on trouve les valeurs pour lesquelles f'(x) s'annule.
On note les résultats dans un tableau de signe, qui sera également le tableau des variations de f(x).

 

exemple : Je ne donne pas l'expression de f, mais j'imagine une fonction dont la dérivée serait la suivante :

tableauderivee.jpg

 

Donc 4 et -1/2 sont les deux seules valeurs à indiquer sur la 1ere ligne du tableau de variations.

4 est la valeur pour laquelle f' s'annule, et -1/2 est la valeur interdites pour f et pour f'.

 

Ce qui donne comme tableau de variation:

tableauderivee.jpg

 

  • Astuces pour ne pas tomber dans tous les pièges.... !

- Si on obtient un dénominateur au carré.. surtout ne pas le développer ! N'oubliez pas qu'on cherche un signe, donc autant laisser la forme carrée, qui est toujours positive.

- Si f'(x) est une fraction, alors résoudre f'(x) = 0 revient à résoudre "numéateur =0".

- On n'oublie pas qu'on ne sait pas étudier le signe d'une addition ou soustraction. Par contre on sait étudier celui d'un produit ou d'un quotient ( règle des signes). DONC : on factorise, ou on met sous le même dénominateur, avant d'entamer quoi que ce soit.

- Dans le tableau de variations, on fait bien attention à faire apparaître, dans la 1ère ligne, les racines de f'(x) ET les valeurs interdites s'il y en a.

 

- La valeur 0 n'a aucune raison d'apparaître plus qu'une autre dans la première ligne du tableau de variations. Je vois souvent des élèves écrire directement ce 0, ligne du haut, en plein milieu du tableau. Or il ne se passe pas obligatoirement quelquechose pour f ou pour f' en x=0.

Ce que nous cherchons, ce sont les valeurs de x pour lesquelles f'=0. Cela peut tomber sur 0 ou pas.

  • Les à côtés tellement sympathiques du chapitre....!!!

Toutes ces jolies notions de nombre dérivé, de tangente, de taux de variation, d'approximation affine....  C'est chouette, hein?!!! Non, c'est pas chouette, vous y comprenez pas grand chose, c'est normal...

Mais parce que là, on commence à avoir les neurones fatigués, j'expliquerai tout ça dans un futur billet... 

 

Pour en savoir plus....    Faites appel à mes services de cours à distance.



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Published by Joséphine - dans Maths 1°S & 1°STI
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