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7 mai 2010 5 07 /05 /mai /2010 09:05

 

Les fonctions affines sont les premières fonctions étudiées, dès la 3ième.Cependant, une large révision est effectuée en Seconde, et leur utilisation reste d'actualité jusqu'au Bac. 

Une fonction affine s'écrit y = ax + b ( ou y = mx + p , suivant les profs...)
C'est donc un outil qui transforme une valeur "x" en une valeur "y".
Les valeurs de a et b sont fixes, elles définissent la fonction. Par exemple la fonction affine y = 2x - 1 (a = 2, b = - 1) n'est pas la même fonction que y = - 5x + 8 (a = - 5, b = 8).

Sur un graphique, les points M(x,y) tels que y = ax + b sont représentés par une droite. On appelle alors
- a le coefficient directeur ( c'est la valeur qui donne la direction de la droite, sa pente)

- b l'ordonnée à l'origine ( c'est à dire la valeur de l'ordonnée (y) à l'origine des x (pour x=0). Graphiquement c'est le point d'intersection de la droite et de l'axe des ordonnées.

 

affine1-copie-1.jpg

On a représenté la fonction affine y = 2x - 3

 

La pente vaut 2, cela veut dire que lorsqu'on se déplace de 1x dans le sens positif ( vers la droite), on se déplace aussi de 2y dans le sens positif (vers le haut).

 

 

 

 

 

 
Les différentes méthodes à connaître:


  • Retrouver l'équation d'une droite lorsqu'on a sa représentation graphique 

Méthode graphique ( acceptée dans les petites classes)

- On repère 2 points dont les coordonnées sont simples ( des entiers si possible). On calcule le "chemin" pour aller d'un point à l'autre verticalement et horizontalement. Le coefficient directeur est égal au quotient "vertical sur horizontal". 

affine3-copie-1.jpg

 

Exemples :

- Cherchons l'équation de (d1), qui passe par A et B:

Pour aller de A vers B, il y a 2 carreaux vers la droite et 3vers le haut. Donc le coefficient directeur vaut 3/2=1,5.

- Cherchons l'équation de (d2), qui passe par B et C:

Pour aller de B vers C, il y a 1 carreau vers la droite et6 vers le bas. Le coefficient directeur vaut -6/1 = -6.

 

    
Ensuite, la valeur de b, l'ordonnée à l'origine, est la valeur de l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées.

Dans notre exemple, pour (d1), b vaut -0,5.
D'où équation de (d1) : y = 1,5 x  - 0,5 

Méthode calculatoire ( plus appréciée..)

Formule du coefficient directeur : Soit A(xA,yA) et B(xB,yB) 2 points de la droite.
Alors a = ( yB - yA) / ( xB - xA)

Par exemple pour (d1) passant par A(1,1) et B(3,4),        a = (4-1)/(3-1) = 3/2

Pour trouver b, l'ordonnée à l'origine:

yA = axA + b ( ça marche aussi avec B, ainsi qu'avec tout point appartenant à cette droite)
alors b = yA - axA

Pour (d1) :  b = 1- 3/2 x 1 = -0,5
D'où   y = 1,5 x - 0,5 

Important : une fois que vous avez calculé a et b, n'oubliez pas de répondre à la question, à savoir donner l'équation de la droite . Bon nombre d'élèves oublient l'étape finale et n'obtiennent pas tous les points à la question... 

 

  • Montrer qu'un point appartient ou non à une droite

Les points M, situés sur la droite sont les points dont les coordonnées (xM,yM) sont liées par la formule yM  = axM + b.
Donc si les coordonnées d'un point vérifient cette relation, le point apartient à la droite.Sinon, il n'appartient pas à la droite.

Exemple : Soit la droite d'équation  y = 1,5 x - 0,5. Le point J ( 4, -1) est-il sur la droite?
Je dois donc regarder si yJ  = 1,5 xJ - 0,5
Je calcule 1,5 xJ - 0,5 = 1,5 x 4 - 0,5 = 4
Or yJ  = -1
4 ≠ -1, donc J n'appartient pas à la droite.
 

 

  • Montrer qu'une fonction est affine

 

Méthode 1 : Avec les vecteurs

Le but est de savoir si la représentation sur le graphique est une droite ou non. Pour cela, on choisit 3 points de la courbe et on va chercher s'ils sont alignés ou non.
Et pour montrer que 3 points sont alignés, on montre que 2 vecteurs formés par ces 3 points sont colinéaires.

-On choisit 3 points sur la courbe dont on calcule les coordonnées ( on choisit x1, on calcul y1=f(x1), pareil pour (x2 , y2 )  et (x3 , y3 ) ).
-On calcule les coordonnées de 2 vecteurs formés par ces 3 points.
-Puis on démontre que ces vecteurs sont colinéaires ou non colinéaires.

Exemple: f(x) = 3x2 + 2
si x1 = 0, y1=f(x1)=2    =>  A (0,2)
si x2 = 1, y2=f(x2)=5   =>  B (1,5)
si x3 = -2, y3=f(x3)=14   =>  C (-2,14)

Les points A, B et C sont-ils alignés? Cherchons à savoir si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
Calculons leurs coordonnées : AB ( 1, 3) et AC ( -2, 12)
En calculant le déterminant ( voir votre cours sur les vecteurs), on se rend compte que les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points ne sont pas alignés, donc ils ne forment pas une droite, et donc f(x) n'est pas une fonction affine!

 

Méthode 2 : Avec le taux d'accroissement

On commence de la même façon que précédemment, en calculant les coordonnées de 3 points appartenant à la courbe.
Puis on calcule l'accroissement entre A et B, et entre B et C.

  • S'il est identique, cela veut dire que les droites (AB) et (BC) ont même coefficient directeur, donc elles sont parallèles, et elles ont en plus un point en commun : C'est donc la même droite, les points sont alignés, la fonction est affine.
  • Sinon, les droites (AB) et (AC) n'ont pas le même coefficient directeur, donc les points ne sont pas alignés, ce n'est pas une même et unique droite, la fonction n'est pas affine.

Exemple:   f(x) = 3x2 + 2
si x1 = 0, y1=f(x1)=2    =>  A (0,2)
si x2 = 1, y2=f(x2)=5   =>  B (1,5)
si x3 = -2, y3=f(x3)=14   =>  C (-2,14)

Taux d'accroissement entre A et B : (y2 - y1) / (x2 - x1) = (5-3) / (1 - 0) = 2
Taux d'accroissement entre B et C :
(y3 - y2) / (x3 - x2) = (14-5) / (-2 - 1) = -3
2
-3 donc les points ne sont pas alignés, donc ce n'est pas une fonction affine. 

 

  •   Montrer que 2 droites sont parallèles ou sécantes


Cours : 2 droites sont parallèles si elles ont même coefficient directeur.


Donc: il suffit de calculer leurs coefficient directeurs respectifs et de vérifier s'ils sont égaux ou non.
S'ils sont égaux, les droites sont parallèles. Sinon , elles sont sécantes.

 

  • Trouver les coordonnées du point d'intersection de 2 droites

Il faut déjà être sûr qu'elles sont sécantes, donc utiliser le point méthode précédent.
Si elles sont sécantes, leur point d'intersection K est donc sur chacune des 2 droites : les coordonnées de K vérifient donc les équations de chaque fonction affine.
soit (d1) : y  = a1x + b1 et (d2) : y  = a2x + b2
K (xK,yK) est sur (d1) alors yK  = a xK  + b1.
K (xK,yK) est sur (d2) alors yK  = a xK  + b2.

On obtient a1 xK  + b1 = a2 xK  + b2 que l'on peut résoudre pour trouver xK , puis on calcule yK .

Exemple : (d1) : y  = 3x - 4  et (d2) : y  = 2x - 1
On résoud   3x - 4  = 2x - 1
donc xk = 3 et yk = 3xk - 4 = 5    donc le point d'intersection est K( 3, 5)

 

 

Pour un entraînement efficace, pour vérifier que vous avez compris le chapitre et pour vous préparer au prochain contrôle, faites appel à mes services de cours par correspondance... Renseignez-vous    ICI.

 

 

 


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Published by Joséphine - dans Maths Seconde
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