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4 octobre 2010 1 04 /10 /octobre /2010 19:05

 

Jusqu'à présent vous saviez résoudre des équations du 1er degré, et quelques unes du 2d degré, mais pas toutes. Avec ce cours, vous comblez cette lacune et toutes les équations du second degré pourront être résolues.Vous pourrez même résoudre certaines équations du 3iè ou 4iè degré.

 

Que faut-il savoir et savoir faire?

- connaître les formules pour résoudre une équation du 2d degré ( delta, nombre de racines)
- savoir factoriser un polynôme,
- connaître les tableaux de signe des polynômes du second degré,
- savoir faire une identification membre à membre,
- connaître les astuces et méthodes pour résoudre une équation du 3iè et du 4iè degré,
- utiliser les notions précédentes pour résoudre des équations et inéquations.

 

Méthode pour résoudre une équation du 2d degré du genre ax2+bx+c = 0

Pour trouver les racines du polynôme ( racines = les valeurs de x pour lesquelles le polynôme vaut 0) Il suffit de connaître les formules du cours : calculer le delta et suivant son signe , en déduire les solutions lorsqu'elles existent.

Pour factoriser  ax2+bx+c = 0 : ce n'est possible que s'il a une ou 2 racines
S'il en a une seule, soit x0, alors ax2+bx+c = a ( x-x0 )2
S'il en a 2, soit x1 et x2, alors ax2+bx+c = a ( x-x1 )( x-x2 )         Attention à ne pas oublier le "a" !

 

Exemple : PolynomesA1
Résolvons p(x) = 0  :   PolynomesA2

PolynomesA3             PolynomesA4

PolynomesA5   d'où la factorisation: PolynomesA6 

 

Méthode pour résoudre et factoriser une équation du 3iè degré

Exercice type : On veut trouver les racines d'un polynôme de degré 3. Mais il n'y a pas de méthode dans le cours. Ce sont donc les questions de l'exercice qui vont vous amener à les trouver.

Soit p(x) = Ax3+ Bx2 + Cx + D

1) Trouver une racine évidente x0 : Il s'agit là de trouver une valeur facile de x qui fait que le polynôme vaut 0. On teste donc 1, 2, 3 ou -1, -2, -3. Obligatoirement une de ces valeurs est une racine.

1BIS) Montrer que 2 est une racine : là on vous donne une valeur, il faut vérifier qu'elle est bien racine du polynôme : on calcule p(2) et on montre que cela fait 0.

2) Factoriser p(x): On sait que x0 est une racine. D'après le cours, cela veut dire qu'on peut factoriser p(x) par (x-x0), donc que p(x) =   (x-x0) Q(x), avec Q(x) un polynôme de degré 2 ( (x-x0) est de degré 1 et p(x) est de degré 3 donc Q(x) est de degré 3-1 = 2).  Q(x) s'écrit ax2+bx+c, et on a alors p(x) =  (x-x0) (ax2+bx+c).

Pour factoriser p(x) totalement, il faut connaitre a,b et c et trouver les racines de ax2+bx+c:
Méthode pour trouver a, b et c : on développe (x-x0) (ax2+bx+c) = ax3+ bx2 + cx - ax0x2- bx0x - cx0
On réduit (rassembler les puissances de x) : (x-x0)(ax2+bx+c) = ax3+ (b- ax0)x2 + (c - bx0)x - cx0
On identifie membre à membre : Ax3+ Bx2 + Cx + D = ax3+ (b- ax0)x2 + (c - bx0)x - cx0
Comme on connaît A, B, C et D, on résout : A = a ; B = b- ax0   ; C = c - bx0 et D = cx0
On obtient ax2+bx+c. On résout ax2+bx+c=0 pour trouver les racines, et finir de factoriser p(x).

 

Exemple : On veut résoudre p(x) = 0 avec PolynomesA7
- Je cherche la racine évidente : j'essaie 1, ça marche : PolynomesA8
- Je peux donc factoriser p(x) par (x-1): PolynomesA9
- Je développe et réduis l'expression :
PolynomesA10
- J'identifie membre à membre avec le polynôme de départ:
PolynomesA11

- je trouve a, b et c :
PolynomesA12
- Je peux donc écrire: PolynomesA13
- Je cherche les racines du 2iè facteur qui est un trinôme du second degré:
PolynomesA14
Δ est positif, il y a donc 2 racines (méthode vue précédemment), on trouve x = -2 et x = 3.
Les 3 racines du polynôme sont donc 1, -2 et ,

- On peut factoriser p(x) totalement : PolynomesA15

 

Méthode pour résoudre et factoriser une équation du 4iè degré

Les seules équations du 4ie degré que vous pouvez résoudre sont celles que vous pouvez ramener à une équation du 2d degré par changement de variable.

Exemple    : PolynomesB1
On effectue le changement de variable : PolynomesB2   donc
PolynomesB6
Je cherche les racines de ce trinôme:
PolynomesB3
Or PolynomesB4  d'où:
                               PolynomesB5

Donc les solutions sont  S = {-2, -1, 1, 2 }


Attention, si un des X est négatif, alors on ne peut pas poser  PolynomesB4
Il n'y aura donc que 2 racines au polynôme.

 

Pour une équation du genre  PolynomesB7, on posera  PolynomesB8

 

 

Pour un entraînement efficace, pour vérifier que vous avez compris le chapitre et pour vous préparer au prochain contrôle, faites appel à mes services de cours par correspondance... Renseignez-vous    ICI.

 

 

 

 


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Published by Joséphine - dans Maths 1°S & 1°STI
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