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8 mars 2010 1 08 /03 /mars /2010 20:35

Nouveauté totale cette année, les suites numériques.

Vous avez tous déjà croisé les énigmes du TéléZ de la semaine, où l'on vous demande de compléter une suite de nombres.. et bien, la plupart du temps, il s'agit de suites numériques.

Qu'est ce que c'est?
C'est une suite de nombres, tous liés au précédent ou au suivant par la même opération.

A quoi ça sert?
Beaucoup de choses dans notre vie peuvent être calculées par les suites numériques.
Par exemple, les intérêts que l'on touche grâce à un placement à la banque, combien aura-t'on gagné au bout de 2 ans, 10 ans, 30 ans... Ou bien ... le nombre de bébés lapins que peut procréer un couple de lapins en quelques mois !! Celle-ci s'appelle la suite de Fibonacci !

Ce qu'il faut en savoir et savoir faire :
Pour être au point sur ce chapitre, voila tout ce qu'il faut savoir et savoir faire :
- Différencier les suites du genre Un=f(n) et Un+1=f(Un),
- Etudier la monotonie de Un,
- Calculer les premiers termes d'une suite,
- Trouver graphiquement les premiers termes d'une suite,
- Trouver si une suite est une suite arithmétique ou une suite géométrique, ou pas,

- Savoir passer d'une écriture de récurrence ( Un+1=f(Un)) à une écriture explicite (Un=f(n) ),
- Savoir calculer la somme d'une suite arithmétique, la somme d'une suite géométrique,
- Trouver le rang n tel que la somme d'une suite arithmétique soit égale à une certaine valeur.


Comment le faire?

- La monotonie de Un:

  • Ecrire Un+1-Un et étudier son signe,
  • Ou, si tous les termes Un sont positifs, écrire Un+1/Un et comparer à 1,
  • Ou, si Un=f(n), étudier les variations de f sur IN

- Trouver si une suite est une suite arithmétique ou une suite géométrique, ou pas:

Pour montrer qu'une suite est arithmétique, j'écris Un+1-Un. Si c'est un chiffre, c'est une SA et ce chiffre en est la raison. S'il reste des "n", ce n'est pas une SA.

Pour montrer qu'une suite est géométrique, j'écris Un+1/Un. Si c'est un chiffre, c'est une SG et ce chiffre en est la raison. S'il reste des "n", ce n'est pas une SG.

Pour montrer qu'une suite N'EST PAS arithmétique : je calcule U1 -U0 et U2 -U1 et je montre que ces 2 valeurs sont différentes.

Pour montrer qu'une suite N'EST PAS géométrique: je calcule U1 / U0 et U2 / U1 et je montre que ces 2 valeurs sont différentes.

 

Les pièges à éviter
- Bien différencier l'écriture de récurrence ( un terme Un+1 en fonction du précédent Un ) et l'écriture explicite ( un terme Un en fonction du rang n),
- Faire attention aux formules dans les suites arithmétiques et géométriques: Exemple : Un = U0 + nr   : ici, n est en fait "n-0".  Donc si la suite commence au rang p, la formule sera Un = Up + (n-p)r
- n est dans IN, donc il est positif , ce qui est très utile pour les études de signe,
- Attention, de 0 à 10 , il y a 11 termes !

L'exercice type
Un des exercices type consiste à vous donner 2 suites différentes, liées l'une à l'autre.
-Une suite Un+1 =f(Un ), ni arithmétique, ni géométrique
-Une suite Vn =g(Un ).
On vous demande de démontrer que Vn est géométrique en trouvant sa raison, puis d'écrire Vn en fonction de n ( faisable car géométrique et raison connue).
Puis on vous demande d'écrire Un en fonction de n ( faisable puisqu'on a Vn  en fonction de Un , on peut donc en déduire Un en fonction de Vn , et donc en fonction de n)


Exemple :
SuitesPremiere1a  

Je calcule Vn+1 / Vn et je montre que c'est un réel fixé (un chiffre):

SuitesPremiere1b-copie-1

2 est un réel fixé, Vn est donc une suite géométrique, et sa raison est 2.

SuitesPremiere2

Vn etant une suite géométrique, son expression en fonction de n est :

SuitesPremiere3 car     SuitesPremiere4

Comme on a Vn en fonction de Un, on peut en déduire Un en fonction de Vn et donc de n:

SuitesPremiere5

 

Pourquoi devez-vous porter une attention particulière à ce chapitre?
Parce que l'an prochain, en terminale, il sera présent tout au long  de l'année en maths :
- Vous apprendrez les complexes.. et les suites de complexes,
- Vous apprendrez les proba.... et les suites de proba,
- Vous apprendrez les intégrales... et les suites d'intégrales, voire..les intégrales de suites,
- Vous étudiez la géométrie dans l'espace... et on y mettra des suites, là aussi...!

Voila, vous avez le schéma de révision, à vous de jouer !!

 

 

Pour un entraînement efficace, pour vérifier que vous avez compris le chapitre et pour vous préparer au prochain contrôle, faites appel à mes services de cours par correspondance... Renseignez-vous    ICI.



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