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23 novembre 2010 2 23 /11 /novembre /2010 20:59
 

Le chapitre des complexes est vaste, ici nous nous intéressons à la résolution des équations du second degré dans C.

 

Pour savoir comment démarrer la résolution, il suffit de distinguer les 2 types d'équations que l'on trouve dans les exercices:

  • EqComp1
    avec a, b et c réels  => On résoud grâce au calcul du delta et aux formules apprises en 1°S.
    Si le Delta est négatif, on le rend positif en apposant devant le terme i2. On trouve alors 2 solutions complexes conjguées entre elles.
    Exemple:EqComp4
    Δ = 22 - 4x5x1 = -16 = 16i2
    EqComp6 
    EqComp7

  • EqComp2
    avec a, b ou c complexe (contient du i)  => on pose z=x+iy et on résoud pour trouver x et y.
    Exemple:EqComp8
    On remplace z par x+iy :EqComp9
    On développe et on réduit, en séparant partie réelle et partie imaginaire:
    EqComp10
    EqComp11
    On applique la propriété qui dit : Un complexe est nul si sa partie réelle est nulle et sa partie imaginaire est nulle. Ce qui donne le système suivant :
    EqComp12
    Ce n'est pas un système linéaire ( présence de puissances de x et de y), donc il n'y a pas de méthode dans le cours pour le résoudre. Il faut donc de l'astuce. On choisit l'équation la plus simple, c'est la deuxième, et on tente de la résoudre:
    EqComp13
    Puis on remplace par chaque valeur dans la première équation:
    si x = 0 : EqComp14
    On résoud cette équation en y, c'est un polymôme du 2d degré donc on calcule le Delta et on trouve les 2 racines si le Delta est positif. (Et oui, car attention, on résoud dans IR, car x et y sont des réels! )
    EqComp15

    Donc les 2 premières solutions de l'équation sont :
    img007.jpg
    si y = -1 : EqComp16.jpg
    On est dans IR car x et y sont des réels, donc il n'y a pas de solution (un carré est toujours positif dans IR).
    L'équation n'admet donc que 2 solutions, z1 et z2.

  • EqComp3
    Il y a z et son conjugué dans la même équation : On remplace z par x+iy et on résoud en x et y.
    Exemple: EqComp17
    On remplace par z = x + iy : ( x+iy )2 + 2 (x - iy ) + 5 = 0
    d'où:
     EqComp19
    Ce qui amène au système suivant à résoudre dans IR :
    EqComp20
    Comme précédemment, on choisit de résoudre l'équation la plus simple et on réintègre les solutions trouvées dans l'autre équation :
    EqComp21  
    si y = 0 : EqComp22
    On résoud cette équation en x, en calculant le Delta : Δ = 22- 4 x 5 x 1 = -15
    Attention, on ne fait pas :EqComp23car on est dans IR !
    Il n'y a donc pas de solution dans le cas où y = 0.
    si x = 1 : 1 - y2 +2 + 5 = 0
    donc EqComp25
    Les 2 solutions dans C de l'équation de départ sont donc :

    EqComp26

 

Voila, vous avez tout ce qu'il faut pour résoudre les équations du 2d degré dans C.

N'oubliez jamais que x et y doivent être des réels, qu'un tel type d'équation admet au maximum 4 solutions, et au minimum 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



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Published by Joséphine - dans Maths T°S
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