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23 septembre 2010 4 23 /09 /septembre /2010 21:16

L'année commence fort avec un chapitre très théorique, sur la dérivabilité (rappels de 1°S) et la continuité ( nouveauté).

Comme à chaque fois, posons nous les bonnes questions, et commençons par...

 

  • la dérivabilité

 

A quoi ca sert ?    A montrer qu'une fonction est dérivable.

 

Oui, mais à quoi ça sert de montrer qu'une fonction est dérivable?   A la dériver. Et dériver une fonction permet ensuite d'étudier ses variations.. ben voila!

 

On fait ça comment?   Là, on se réfère à la page sur les dérivées en 1°S

 

Et pourquoi on étudie la dérivabilité dans le chapitre des limites ?

Il y a 2 façons d'utiliser le théorème :

- pour montrer qu'une fonction est dérivable en a, avec la 1ère formule :  

fderii1

- pour calculer la limite d'une fonction quand x tend vers a, avec la 2ième formule : 

fderi3

  fderi2

 

Expliquons cette deuxième notion

Si on sait que f est dérivable en a, on peut donc écrire directement l'égalité:

fderi4

Cette égalité donne la valeur de la limite d'une expression en x. Cela veut dire que l'on peut utiliser le théorème pour calculer certaines limites, comme par exemple les 3 ci-dessous, souvent posées en devoir surveillé : 

fderi5

 

La méthode    

Comment savoir qu'il faut utiliser le théorème de dérivabilité?

Par élimination!!

Quelles sont les différentes méthodes pour calculer une limite?

  • le calcul direct ( ici on obtient une forme indéterminée),
  • le théorème du terme de plus haut degré, mais qui ne s'applique qu'en l'infini ET pour des polynomes ou frations rationnelles ( pas le cas ici),
  • la forme conjuguée, le plus souvent valable pour les racine.

 

On vient d'éliminer toutes les méthodes, ne reste plus que le théorème de dérivabilité.

 

Calculons la limite du 1er exemple

On doit comparer la 2ième formule du théorème à notre expression.

On voit que a = 0   (limite en 0)   et    f(x) = cos(x)

 

Vérifions le reste :   x - a = x - 0 = x, c'est ok

f(a) = f(0) = cos (0) = 1, c'est ok.

 

On peut donc écrire :

fderi6

 Or, cos(x) est dérivable sur IR, donc en 0. Je peux donc affirmer, d'après le théorème, que

  fderi7

( on rappelle que la dérivée de cos(x) est  -sin(x) )

 

 

Entraînez vous sur le même schéma à faire les 2 autres limites, et en cas de problème, contactez moi par email !

 

 

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Published by Joséphine - dans Maths T°S
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