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24 septembre 2010 5 24 /09 /septembre /2010 12:40

Souvent étudiée en début d'année, la continuité est une notion nouvelle pour les élèves de T°S.

 

A quoi ca sert ? 

A montrer qu'une fonction est continue.

 

Oui, mais à quoi ça sert de montrer qu'une fonction est continue?

A en calculer la primitive ( vous apprendrez à faire cela un peu plus tard).

Et calculer la primitive d'une fonction permet ensuite de calculer des aires sur un graphique... ben voila!

 

On fait ça comment?

Pour montrer que f est continue en une valeur a, on utilise le théorème qui dit :

 

  fconti1

 

Oui, mais concrètement ça donne quoi?

Visuellement, une fonction est continue si on peut tracer sa courbe sans lever le stylo. Mais vous imaginez bien que ce n'est en aucun cas une justification valable sur une copie! 

Premièrement, une fonction qui n'est pas définie en certaines valeurs, ne sera pas continue en ces valeurs.

Donc f non définie en a => f non continue en a

 

Ensuite, certaines fonctions sont définies en une valeur mais n'y sont pas continues, ce sont des fonctions un peu bizarres que vous n'avez jamais vues auparavant, et que vous ne verrez plus beaucoup cette année. Mais elles sont très utiles pour travailler et s'exercer sur le chapitre continuité!

    Premier exemple :

conti1 

On dit qu'on a prolongé f (qui n'est pas définie en 0 au premier abord) par continuité en 0, en lui donnant la valeur 1.

Montrons que f est continue en 0: 

conti2

  On peut  donc écrire l'égalité :

conti3  

Conclusion, f est bien continue en 0.

     Deuxième exemple :

  conti4

Montrons qu'elle n'est pas définie en 2 par exemple : 

conti5

La fonction admet 2 limites différentes en 2, donc elle n'est pas continue en 2.

 

Une propriété importante, sujet de ROC :

f dérivable en a   =>  f continue en a

Mais le contraire est FAUX. 

Cette propriété constitue une ROC, dont voici le schéma de démonstration :

 

CLE de démonstration :    Soit f dérivable en a, alors

fderi4

J'effectue un produit en croix :

conti7

Si je passe à la limite en a de chaque côté :

conti8

Or

conti9

Donc

conti10

On retrouve le théorème de continuité.

 

Pour plus de détails dans les explications, ou pour un cours sur ce chapitre ou d'autres, contactez moi : lesbonnesnotes@yahoo.fr

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Published by Joséphine - dans Maths T°S
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