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4 novembre 2010 4 04 /11 /novembre /2010 10:50

Après avoir appris à décomposer une fonction et à en trouver son ensemble de définition dans l'article précédent, on peut à présent en étudier les variations. Le plus souvent, l'énoncé de l'exercice vous donne les intervalles où vous devez travailler.

 

Que dit le cours ?

  • Si 2 fonctions ont mêmes variations, alors la composée des 2 fonctions est croissante.
  • Si 2 fonctions ont des variations contraires, alors la composée des 2 fonctions est décroissante.

Mais il faut faire attention à l'intervalle sur lequel on étudie les variations de chacune:
Si on cherche les variations de f = u o v sur I: On étudie les variations de v(x) pour x € I, et les variations de u(x) pour x € ........à v(I) .
Qu'est-ce que v(I) ?  C'est l'intervalle "image" de I par v. Car, d'après le schéma de décomposition, v prend ses valeurs dans I, mais u prend ses valeurs dans v(I).
VarCompFonctions8

 

Exemple 1, simple : VarCompFonctions1 - copie
Question : Etudier les variations de f(x) sur  ] - ∞ , 4 [

- On commence par décomposer f :
VarCompFonctions3 - copie
- Variations de u(x) sur ] - ∞ , 4 [  : u(x) est une fonction affine dont le coefficient directeur est positif, donc u(x) est croissante sur IR, donc sur ] - ∞ , 4 [.

- Cherchons l'intervalle décrit par u(x) lorsque x € ] - ∞ , 4 [:
VarCompFonctions5 - copie

- Variations de v(x) : c'est la fonction carré : elle fait partie des fonctions usuelles qui sont détaillées dans le cours, donc on est sensé connaître ses variations : sur ] - ∞ , 0 [, v(x) est décroissante.

- Conclusion : Sur ]- ∞ , 4[, f est la composée d'une fonction croissante (u) et d'une fonction décroissante (v), donc f est décroissante.

 

Exemple 2, avec la fonction inverse:  VarCompFonctions6

Question : Etudier les variations de f(x) sur  ] - ∞ , 5 [

 - On commence par décomposer f :
VarCompFonctions16 2
VarCompFonctions14
- Variations de u(x) sur ] - ∞ , 5 [  : u(x) est une fonction affine dont le coefficient directeur est positif, donc u(x) est croissante sur IR, donc sur ] - ∞ , 5 [.

- Cherchons l'intervalle décrit par u(x) lorsque x € ] - ∞ , 5 [:
VarCompFonctions7

- Variations de v(x) : c'est la fonction inverse : elle fait partie des fonctions usuelles qui sont détaillées dans le cours, donc on est sensé connaître ses variations : sur ] - ∞ , 0 [, v(x) est décroissante.

- Conclusion : Sur ]- ∞ , 5[, f est la composée d'une fonction croissante (u) et d'une fonction décroissante (v), donc f est décroissante.

 

Exemple 3, avec 3 fonctions:  VarCompFonctions10  

Question : Etudier les variations de f(x) sur  ] - ∞ , 0 [

 - On commence par décomposer f :
VarCompFonctions11
VarCompFonctions12
- Variations de u(x) sur ] - ∞ , 0 [  : u(x) est la fonction carré donc u(x) est décroissante sur ] - ∞ , 0 [.

- Cherchons l'intervalle décrit par u(x) lorsque x € ] - ∞ , 0 [:
VarCompFonctions13

 

- Variations de v(x) : c'est une fonction affine de coef directeur positif : elle est croissante sur IR donc sur  ]0, + ∞[
- Variations de w(x)
: c'est la fonction racine carrée, elle est croissante sur ]0, + ∞[

- Conclusion : Sur ]- ∞ , 0[, f est la composée d'une fonction décroissante (u) et de 2 fonctions croissante (v et w), donc f est décroissante.

 

 

 

 

 

En compilant cet article et le précédent, vous savez répondre à toutes les questions concernant les variations de fonctions composées !

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Published by Joséphine - dans Maths Seconde
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commentaires

Jérome 03/11/2013 11:48

Merci bien, mais je ne comprends pas l'intervalle image de I par v, qu'est-ce que cela signifie ?

Joséphine 03/11/2013 12:01



quel endroit?



Jérome 03/11/2013 10:08

Bonjour, merci pour le cours, mais que faire quand l'intervalle n'est pas donné dans la consigne ? comment savoir, tout seul, dans quelles intervalles faut-il étudier la fonction ?

Joséphine 03/11/2013 11:07



Il faut rouver l'ensemble de definition ( aussi appelé domaine de définition).


C'est detaillé ici : http://www.les-bonnes-notes.fr/article-decomposer-une-fonction-fonctions-composees-2de-et-1-60275907.html


 


bon courage!


 



Joséphine 03/11/2013 09:16

tout à fait, petite inattention réparée! Merci bien!

Gerald 01/11/2013 20:45

bonjour merci pour votre article mais n'y aurait-il pas une erreur : dans l'exemple on est dans l'intervalle -00,5 et on passe à l'intervalle 5,+00 dans votre rédaction puis dans la conclusion vous
écrivez -00,4