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30 novembre 2010 2 30 /11 /novembre /2010 07:15

Ce qui pose problème en général dans un exercice, c'est le démarrage.

On ne sait pas du tout comment partir, quoi écrire...Quelques méthodes pour ne plus être bloqué :

 

  • Souligner dans l'exercice les mots clés, et trouver les points du cours qui y correspondent. Ensuite, remplacer les paramètres du cours par ceux donnés par le problème, et tenter de faire le lien entre les mots clé de l'exo et ceux du cours.

Exemple, pour les Troisièmes :

 ExDemarrerExo1-copie-1.jpg
Question 1 :
- Mot important de la question ?
C'est " rectangle ".  Ce mot peut être interprété de 3 façons : soit comme il est écrit, soit "démontrer qu'un triangle est rectangle", soit par le fait de trouver un angle droit ou des droites perpendiculaires.
- Points du cours qui permettent d'aboutir à un triangle rectangle OU à un angle droit OU a des droites perpendiculaires? Il y a les propriétés des angles dans un triangle, il y a les propriétés sur les droites parallèles et perpendiculaires, il y a Pythagore et la trigonométrie.
- Données importantes de l'énoncé concernant le triangle ABC? Les 3 dimensions sont données, c'est tout.
- Lien entre les 3 dimensions et l'un des points du cours cité précédemment? Les 3 dimensions permettent d'utiliser Pythagore.  

 

Exemple, pour les 1°S:

ExDemarrerExo2.jpg 

- Mot important de la question ? C'est " parallèle".
- Points du cours qui permettent d'aboutir à des droites parallèles ? On est dans le chapitre des barycentres (c'est marqué dans l'exercice) et donc des vecteurs. D'après le cours, si 2 vecteurs sont colinéaires, les droites qui les portent sont parallèles.
- Données importantes de l'énoncé? C'est G Bar {(A,1) (B,3) (C,-3)}.
- Lien entre ces vecteurs colinéaires et  G Bar {(A,1) (B,3) (C,-3) ? Dire que 2 vecteurs sont colinéaires entraîne une équation vectorielle : AG = kBC. Dire que  G Bar {(A,1) (B,3) (C,-3) entraîne aussi une équation vectorielle: GA + 3GB - 3GC = 0. Il va donc falloir partir de la 2ème équation vectorielle pour arriver à la 1ère.

 

  • Il faut traduire les donnés de l'exo en "maths", ainsi que la conclusion à trouver.

Inscrivez les données sur le brouillon, et le résultat à trouver 10 lignes en dessous. Le but va être de remplir entre ces 2 lignes.
Commencer par traduire les données en version "mathématiques", ainsi que le résultat à trouver. Visuellement, repérer le lien qui existe entre ces 2 expressions, formules ou équation.

 

On reprend l'exemple précédent, montrer que (AG) et (BC) sont parallèles.

1 ) Traduction de la ligne de données : G Bar {(A,1) (B,3) (C,-3)  <=>  GA + 3GB - 3GC = 0

                                     Remplissage à trouver

2 ) Traduction de la ligne de conclusion: (AG) // (BC) <=>  AG = kBC


Pour le remplissage : On se doute qu'il va falloir utiliser la relation de Chasles, afin de faire disparaitre les points et les vecteurs inutiles et obtenir ainsi une relation qui ne contient que du AG et du BC.

 

 

Efforcez-vous de suivre ces conseils à la lettre, et ces méthodes deviendront automatiques au fil du temps. Vous saurez alors "chercher" , et résoudre tout type d'exercice.


 

 

 

 

 

 


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Published by Joséphine - dans méthodes
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29 novembre 2010 1 29 /11 /novembre /2010 13:03

...comment démarrer un exercice quand on est bloqué,

... la géométrie dans les complexes,

... spé maths : un peu d'arithmétique.

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Published by Joséphine
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23 novembre 2010 2 23 /11 /novembre /2010 20:59
 

Le chapitre des complexes est vaste, ici nous nous intéressons à la résolution des équations du second degré dans C.

 

Pour savoir comment démarrer la résolution, il suffit de distinguer les 2 types d'équations que l'on trouve dans les exercices:

  • EqComp1
    avec a, b et c réels  => On résoud grâce au calcul du delta et aux formules apprises en 1°S.
    Si le Delta est négatif, on le rend positif en apposant devant le terme i2. On trouve alors 2 solutions complexes conjguées entre elles.
    Exemple:EqComp4
    Δ = 22 - 4x5x1 = -16 = 16i2
    EqComp6 
    EqComp7

  • EqComp2
    avec a, b ou c complexe (contient du i)  => on pose z=x+iy et on résoud pour trouver x et y.
    Exemple:EqComp8
    On remplace z par x+iy :EqComp9
    On développe et on réduit, en séparant partie réelle et partie imaginaire:
    EqComp10
    EqComp11
    On applique la propriété qui dit : Un complexe est nul si sa partie réelle est nulle et sa partie imaginaire est nulle. Ce qui donne le système suivant :
    EqComp12
    Ce n'est pas un système linéaire ( présence de puissances de x et de y), donc il n'y a pas de méthode dans le cours pour le résoudre. Il faut donc de l'astuce. On choisit l'équation la plus simple, c'est la deuxième, et on tente de la résoudre:
    EqComp13
    Puis on remplace par chaque valeur dans la première équation:
    si x = 0 : EqComp14
    On résoud cette équation en y, c'est un polymôme du 2d degré donc on calcule le Delta et on trouve les 2 racines si le Delta est positif. (Et oui, car attention, on résoud dans IR, car x et y sont des réels! )
    EqComp15

    Donc les 2 premières solutions de l'équation sont :
    img007.jpg
    si y = -1 : EqComp16.jpg
    On est dans IR car x et y sont des réels, donc il n'y a pas de solution (un carré est toujours positif dans IR).
    L'équation n'admet donc que 2 solutions, z1 et z2.

  • EqComp3
    Il y a z et son conjugué dans la même équation : On remplace z par x+iy et on résoud en x et y.
    Exemple: EqComp17
    On remplace par z = x + iy : ( x+iy )2 + 2 (x - iy ) + 5 = 0
    d'où:
     EqComp19
    Ce qui amène au système suivant à résoudre dans IR :
    EqComp20
    Comme précédemment, on choisit de résoudre l'équation la plus simple et on réintègre les solutions trouvées dans l'autre équation :
    EqComp21  
    si y = 0 : EqComp22
    On résoud cette équation en x, en calculant le Delta : Δ = 22- 4 x 5 x 1 = -15
    Attention, on ne fait pas :EqComp23car on est dans IR !
    Il n'y a donc pas de solution dans le cas où y = 0.
    si x = 1 : 1 - y2 +2 + 5 = 0
    donc EqComp25
    Les 2 solutions dans C de l'équation de départ sont donc :

    EqComp26

 

Voila, vous avez tout ce qu'il faut pour résoudre les équations du 2d degré dans C.

N'oubliez jamais que x et y doivent être des réels, qu'un tel type d'équation admet au maximum 4 solutions, et au minimum 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



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Published by Joséphine - dans Maths T°S
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22 novembre 2010 1 22 /11 /novembre /2010 11:15

Cette 2ième partie du chapitre traitera des barycentre partiels et des ensembles de points.

  Notation : AB signifie vecteur AB, AB signifie longueur A.

 

  • Barycentres partiels

Cours : Si G est Bary (A,a) (B,b) (C,c) et H Bary de (A,a) (B,b) alors G Bary de (H,a+b) (C,c)

 

Astuce : il est possible de "dédoubler"  un point en partageant son poids.

Exemple : Soit G Bary (A,3) (B,5) (C,-3) ,  H Bary de (B,2) (C,-3) et J milieu de [AB]. Montrer que H, G, J sont alignés.
H,G,J sont alignés si l'un des points peut etre écrit comme le bary des 2 autres.
J milieu de [AB]  ↔ J Bary (A,1) (B,1), et H Bary de (B,2) (C,-3)
Or G Bary (A,3) (B,5) (C,-3) c'est à dire, en dédoublant le point B,  G Bary (A,3) (B,3) (B,2) (C,-3)
J Bary (A,1) (B,1)  ↔ J Bary (A,3) (B,3)   et H Bary de (B,2) (C,-3)
D'après les Barycentres partiels, on peut remplacer (A,3) (B,3) par (J,6) et  (B,2) (C,-3) par (H,-1)
Donc G Bary (J,6) (H,-1) donc H, J,G sont alignés. 

 

  • Trouver des ensembles de points

Propriétés fondamentale : Si G est Bary (A,a) (B,b) (C,c),
alors pour tout point M on a aMA + bMB + cMC = (a+b+c) MG

 

A quoi ça sert ?

Le but des exos va être de trouver où sont les points M qui vérifient une relation donnée. Dans cette relation, le point M apparait plusieurs fois, ce qui empêche de résoudre directement. On va donc utiliser la propriété précédente pour transformer cette relation en une autre qui ne contient qu'une seule fois le point M.

3 types d'exercice:

- Soient 3 points A, B et C, trouver l'ensemble des points M tels que
II 3MA - 2MB + 4MC II = II 2MA + 3MB II

On considère alors le point G bary (A,3) (B,-2) (C,4) et le point H bary (A,2) (B,3). Les poids donnés aux points sont les coefficients placés devant chaque vecteur. Comme on sait placer le barycentre de 2 ou 3 points pondérés, alors G et H peuvent être utilisés comme donnée du problème.

D'après la propriété fondamentale,,
3MA - 2MB + 4MC = (3 - 2 + 4) MG = 5MG
et 2MA + 3MB = (2 + 3) MH = 5MH
Donc la relation donne :
II 5MGII = II 5MH II , d'ou 5 IIMGII = 5 IIMHII , d'où MG = MH
Les points M sont donc sur la médiatrice du segment [HG]

 

- Soient 3 points A, B et C, trouver l'ensemble des points M tels que
II
3MA - 2MB + 4MC II = 10

On considère alors le point G bary (A,3) (B,-2) (C,4).
D'après la propriété, 3MA - 2MB + 4MC = (3 - 2 + 4) MG = 5MG
Donc la relation donne : II 5MGII = 10 , d'ou 5 IIMGII = 10, d'où MG = 2
Les points M sont donc sur le cercle de centre G de rayon 2

 

- Soient 3 points A, B et C, trouver l'ensemble des points M
tels que II
3MA - 2MB + 4MC II = II MA - MB II

On considère alors le point G bary (A,3) (B,-2) (C,4) MAIS... on ne peux pas considérer le point H bary (A,1) (B,-1) car il n'existe pas, car 1 - 1 = 0.
L'astuce : si on ne peut pas considérer le barycentre, c'est qu'il y a une autre facon d'écrire l'expression.
MA - MB = MA + BM = BM + MA = BA
Donc la relation donne :
II 5MGII = II BAII , d'ou 5 IIMGII = BA d'où MG = BA/5
Les points M sont donc sur le cercle de centre G de rayon BA/5.

 

 

 

Pour un entraînement efficace, pour vérifier que vous avez compris le chapitre et pour vous préparer au prochain contrôle, faites appel à mes services de cours par correspondance... Renseignez-vous    ICI.

 

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Published by Joséphine - dans Maths 1°S & 1°STI
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17 novembre 2010 3 17 /11 /novembre /2010 08:58

Le chapitre des barycentres allie géométrie vectorielle et calculs. Il y a peu de cours, par contre beaucoup de méthodes sont à apprendre.

 

Qu'est ce que c'est, et à quoi ca sert ?

Le barycentre est un point, un endroit spécial. Si on parlait du barycentre d'un objet, ce serait le "centre" de cet objet, c'est à dire le point d'équilibre de l'objet. En physique, ce point sera utilisé pour étudier l'objet.
Pourquoi parle-t'on de points "pondérés"?
- Imaginez votre double décimètre. Si vous le posez à plat sur une pointe de métal, vous devrez positionner la pointe de métal (G) au centre de la règle pour qu'elle se tienne en équilibre : normal, votre double décimètre est identique à chaque extrémité, chaque point est affecté du même poids, le barycentre est alors l'"isobarycentre" ( iso veut dire égal).
bary11- Imaginez maintenant une louche: elle est bien plus lourde du coté bombé que du coté du manche. Si vous la mettez sur une pointe de métal (G), en positionnant la pointe au milieu de la longeur de la louche, celle ci va pencher du coté le plus lourd. Pour compenser cela et trouver l'équilibre, on va poser sur le manche un poids supplémentaire P. Le centre de la louche sera alors le barycentre du coté bombé affecté du poids "1" , et du manche affecté du poids P.
bary13bary12- Imaginez enfin que non, finalement, on ne met pas de poids sur le manche pour compenser. Alors pour rétablir l'équilibre, il faudra trouver la position de G la plus adaptée, et donc la rapprocher du coté lourd.
bary14

La plupart des objets de notre vie sont asymétriques. Pour pouvoir étudier les forces qui s'y exercent, leur mouvement ou tout autre chose en physique, il faut "réduire" cet objet à un seul point. C'est le barycentre qui sera choisi, et on l'appellera en physique, le centre de gravité.

Ce qu'il faut savoir :
- la définition du barycentre,
- la propriété du barycentre,
- les petites propriétés,
- l'association de barycentre. 

Ce qu"il faut savoir faire:
- Construire le barycentre de 2 points, de 3 points,
- Montrer qu'un point est le barycentre de 2 ou 3 points,
- Montrer que 3 points sont alignés,
- Trouver des ensembles de points.

 

Rappels préliminaire nécessaires :
- La relation de Chasles: bary4
- La règle du parallélogramme, avec I le milieu de AB : bary5
- A retenir pour les résolutions d'exercices :
  bary6bary9  bary10

 

Définition fondamentale : G est le Bar (A,a) (B,b) alors bary1

 

Construction d'un barycentre :

  • Sans les coordonnées :

De la définition, grace à la relation de Chasles, on obtient la formule permettant de construire G connaissant A et B :

bary7 

Certains profs admettent l'utilisation directe de la formule, d'autres veulent que vous la retrouviez à chaque fois. Regardez dans les exos corrigés comment votre prof procède et faites de la même façon.

Pour retrouver ces formules:

Partez de la définition. Gardez GA puisque AG doit apparaitre dans la formule finale, mais faites Chasles sur GB pour le faire disparaître. Pointez sur le seul point qui reste, A. Vous obtenez aGA + b(GA + AB) = 0. Développez, transformez les GA en AG, isolez-le, et c'est fini.

Avec 3 points la formule devient :

bary8

  • Avec coordonnées :

bary3

Formules à adapter avec 3 points.

 

Montrer qu'un point est le barycentre de 2 points, ou 3 points:

Le but est donc d'utiliser les données du problème pour arriver à une formule du meme type que la définition du barycentre: bary1
Exemple : AC = 3 CB, exprimer A comme le bary de B et C:
On doit donc trouver un formule du genre aAB + bAC = 0.
On ne touche pas  au vecteur AC, on rapatrie CB à gauche du =, et comme CB doit disparaitre, on fait Chasles en pointant sur A:
AC
-3 (CA+AB) =0  d'ou AC - 3CA - 3AB =0 d'ou 4AC - 3AB = 0. A est donc le Bary de (B,-3) (C,4).

 

 

 

Dans l'article suivant, nous étudierons les méthodes concernant les barycentres partiels ( ou barycentres associés )  ainsi que les exercices types pour trouver des ensembles de points.

 

 

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Published by Joséphine - dans Maths 1°S & 1°STI
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16 novembre 2010 2 16 /11 /novembre /2010 08:44

Chers élèves,

 

pour certains, l'arrêt des notes est passé, mais pour d'autres c'est dans 1 semaine ou 10 jours.

Faites attention pendant cette période, car même si votre professeur a l'habitude de programmer ses contrôles à l'avance, même s'il semble très organisé, vous n'êtes pas à l'abris d'un contrôle surprise!

Il suffit qu'il lui manque une note, qu'il trouve que les moyennes sont trop basses, qu'il ait envie de vous donner une dernière chance, pour qu'il vous propose une petite interro surprise de dernière minute!

 

Allez on reste vigilant, on apprend sa leçon tous les soirs, on refait les exercices, bref, on se prépare chaque jour comme s'il y avait interro demain !

 

 

 

 

 

 

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Published by Joséphine - dans organisation
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8 novembre 2010 1 08 /11 /novembre /2010 21:00

Dans les exercices types en T°S, apparaît une question au premier abord facile, mais qui bloque la plupart des élèves. On vous demande d'écrire f(α) d'une certaine façon, α étant la solution unique de l'équation g(x) = 0 ou g(x) =12, que vous avez trouvée dans une question précédente grâce au théorème de la bijection sur la fonction g de la partie A de l'exercice.

Ouf.

Oui, cette question parait facile, et elle peut l'être si on est méthodique.
Première partie de l'exercice, α est donc la solution de l'équation g(x) = 0 ( 0 le plus souvent...).
Dans la partie suivante de l'exo apparaît f(x) , dont l'expression est très compliquée, avec des ln(x), des exp(x), voire les 2. Et là, question 4b), on nous dit que f(α) peut s'écrire sous la forme f(α) = 3α + 2 ou un truc du même style, bref, de façon super simple.

 

Méthode pour trouver rapidement ce résultat:

- sur votre brouillon, vous écrivez f(α) en remplaçant x par α dans l'expression de départ de f(x),
- vous notez en dessous le f(α) que vous devez trouver,
- vous notez à côté que g(α) = 0 , en remplaçant x par α dans l'expression de g,
- Ensuite, vous comparez le f(α) que vous avez et le f(α) que vous voulez trouver, et vous repérez le terme le plus visible qui disparait. Souvent, c'est ln(α) ou exp(α) qui n'apparait plus dans l'expression demandée,
- dans l'équation g(α) = 0 , vous isolez le terme précédent de façon à l'écrire en fonction de α,
- Vous remplacez ce terme précédent dans f(α) par son écriture trouvée précédemment grâce à g.

 

Exemple : Données :
g(x) = ln(x) - x2 + 3         g(α) = 0         f(x) = xln(x) - 5x3 + 1

Montrer que f(α)  = - 4α3 - 3α + 1

- je note f(α) = αln(α) - 5α3 + 1
- je note "f(α) = - 4α3 - 3α + 1    ?"
- g(α) = ln(α) -α2 + 3 = 0

- Entre les 2 f(α), c'est ln(α) qui disparait
- dans g(α) : ln(α) - α2 + 3 = 0 alors ln(α) = α2 - 3
- je remplace dans le f(α) de départ : f(α) = α (α2 - 3) - 5α3 + 1= α3 - 3α - 5α3 + 1= - 4α3 - 3α + 1

 

 

Pour un entraînement efficace, pour vérifier que vous avez compris le chapitre et pour vous préparer au prochain contrôle, faites appel à mes services de cours par internet... Renseignez-vous    ICI.

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8 novembre 2010 1 08 /11 /novembre /2010 10:02

Lorsqu'on vous demande de calculer une limite, le calcul direct aboutit parfois à une forme indéterminée. Les 4 formes indéterminées sont limpart1
Que faire si on tombe sur une forme indéterminée?

Un seul théorème existe: Si c'est une fraction rationnelle, et que l'on trouve limpart14.jpg, on utilise le théorème des termes de plus haut degré vu en 1°S.
Exemple: limpart2

Dans tous les autres cas, il suffit d'être méthodique.

En T°S évidemment la plupart des limites à calculer sont des limites de fonctions contenant de l'exponentielle et du logarithme népérien. Lorsqu'on tombe sur une FI, le but est de transformer judicieusement l'écriture de f(x) de façon à retrouver une des 4 limites particulières du cours:
limpart4

  • Si on tombe sur une FI du genre 0 x : C'est le produit qui pose problème, alors on essaie de développer l'expression.

Exemple: limpart3

limpart6
Changeons l'expression de f(x), comme c'est le produit qui pose problème, développons l'expression en x :
limpart9
limpart10

 

  • Si on tombe sur une FI du genre +∞-∞ : c'est la soustraction/addition qui pose problème, alors on essaie de factoriser l'expression. On factorise soit par ex, soit par la plus grande puissance de x.

Exemple: limpart15
limpart16
On change donc l'expression de f(x) : on factorise par la plus grande puissance de x:
limpart17
limpart18

  • Si on tombe sur une FI du genre limpart14.jpg, on factorise en haut et en bas soit par ln(x), soit par la plus grande puissance de x, soit par ex.

 

Exemple:  limpart7
limpart8
On factorise en haut et en bas par ex :
 limpart11    
limpart12
limpart13

Astuces supplémentaires :

-Le cours donne 4 limites particulières. On peut donc utiliser l'inverse de ces limites.
Exemple:  limpart19
limpart20
On change l'expression de f(x) :
limpart21
limpart22
-On peut procéder à des changements de variables:
Exemple:    limpart27
limpart28
limpart29
limpart30
-On peut "arranger" les expressions en les multipliant ou divisant par un nombre:
Exemple:  limpart23   limpart24

On effectue ensuite le changement de variable suivant :
limpart25

D'où : limpart26


 

 

Pour un entraînement efficace, pour vérifier que vous avez compris le chapitre et pour vous préparer au prochain contrôle, faites appel à mes services de cours par internet... Renseignez-vous    ICI.

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7 novembre 2010 7 07 /11 /novembre /2010 15:53

L'étude des fonctions a un caractère spécifique en section économique. On ne vous demande pas de connaître la théorie mais on contraire, de maîtriser parfaitement les méthodes graphiques et les applications au monde réel.

 

Les méthodes calculatoires, lorsqu'on vous donne l'expression de f(x), ce qu'il faut savoir, et savoir faire :

- dériver une fonction, donc connaître le tableau des dérivées.
- trouver les variations d'une fonction, donc savoir étudier le signe d'une expression en x (f'),
- trouver l'équation d'une tangente, donc connaître la formule de la tangente en x=a,
- calculer des limites, et donc connaître le tableau de calculs et les formes indéterminées,
- donner les équations des asymptotes,
- démontrer qu'une droite est asymptote oblique à une courbe, et donc connaître son théorème,
- calculer la position relative d'une droite par rapport à une courbe.

 

Les méthodes graphiques, lorsque vous n'avez pas l'expression de f(x) mais vous avez sa courbe, ce qu'il faut savoir, et savoir faire :

- trouver l'image d'une valeur de x par f, trouver la valeur d'un antécédent,
- trouver f'(12) ou f'(-5), c'est à dire savoir calculer le coefficient directeur de la tangente en 12 ou en -5,
- savoir faire un tableau de variations en lisant le graphique,
- savoir résoudre des équations (f(x) = 3) ou des inéquations (f(x) > 5) sur f,
- savoir résoudre des équations (f'(x) = 3) ou des inéquations (f'(x) > 0) sur f' (et donc connaître la signification graphique du signe ou de la valeur de f'),
- savoir donner les variations de la fonction composée de f et d'une fonction usuelle (par exemple les variations de 1/f(x)) , donc connaître les théorèmes sur les variations de fonctions composées.

 

Nous allons ici détailler ces méthodes graphiques.

 

Exemple 1 : Soit le graphique suivant, - Cf est en rouge, et des droites sont en vert, bleu et noir.

 

 

graphTES1

 

1) Donner les valeurs de f(-3) et f(4)
Il faut donner l'image par f de -3 et de 4, donc donner l'ordonnée des points de la courbe d'abcisses -3 et 4. On trouve donc f(-3) = 0 et f(4) = -5.

2) Donner la valeur de f'(0)
Que représente la dérivée graphiquement? C'est le coefficient directeur de la tangente au point considéré. Donc f'(0) est le coefficient directeur de (T) en vert.
Méthode pour calculer graphiquement le coef directeur d'une droite : on repère 2 points de coordonnées entières sur (T), et on compte le nombre de carreaux que l'on suit pour aller du 1er point au second. Le coef directeur est alors égal au nombre de carreaux verticaux divisé par le nombre de carreaux horizontaux ( attentionx aux signes : si je descends, on met un "-", si je monte, on met un "+").
Application : ici pour aller de A vers B, je traverse 2 carreaux vers la droite et 3 vers le haut, donc le coef directeur vaut 3/2, d'où f'(0)=3/2. 

3) Donner les valeurs de f'(-1) et f'(2,8)
Comme précédemment, f'(-1) et f'(2,8) sont les coefficients directeurs des tangentes en -1 et 2,8. Mais ici les tangentes ne sont pas dessinées, et on ne peut le faire soi-même. Il faut donc se demander ce qu'il se passe en -1 et 2,8. En ces points, la courbe change de variation, ce qui signifie que ce sont des valeurs où la dérivée est nulle! Donc f'(-1) = 0 et f'(2,8) = 0.

4) Etablir le tableau de variations de f et en déduire le signe de f'
Il comportera 2 lignes, la ligne pour x et la ligne pour f(x) avec les flèches. Que doit-on inscrire sur la ligne de x ?
- aux 2 extrémités, les bornes de l'intervalle d'etude, ici - ∞ et + ∞,
- puis la ou les valeurs interdites s'il y en a. Ce sont des valeurs de x par lesquelles Cf ne passe pas, ici c'est x= 1,
- enfin les valeurs de x pour lesquelle la courbe change de variations, ici en -1 et en 2,8.
TV-methodesgraphiquesTES - copie

5) Donner les équations des asymptotes à Cf
- Cf ne traverse pas Δ, elle n'a pas de valeur en x=1. Donc la droite Δ d'équation x=1 est asymptote verticale à Cf.
- Cf se rapproche de (d) en bleue, quand x tend vers +/- ∞. Donc (d) est une asymptote oblique à Cf. Pour trouver son équation, du type y=ax+b, il suffit de trouver graphiquement son coefficient directeur "a" et son ordonnée à l'origine "b". Pour trouver "a", (d) passe par (-4,0) et (0,-2). donc a = -2 / 4 = -0,5. Son ordonnée à l'origine vaut -2. Donc (d) a pour équation y = -0,5x - 2 (pour plus de détails sur ces méthodes voir ).

 

Exemple 2 : Soit le graphique suivant, - Cf est en rouge, et des droites sont en vert & bleu.

graphTES2

1) Résoudre graphiquement f(x) = 4
Méthode : on trace la droite d'équation y=4 (droite horizontale), et les solutions de l'équation f(x) = 4 sont les abcisses ( donc les x) des points où cette droite coupe la courbe. Ici les solutions sont S = {-1,73, 0  , 1,73}.

2) Résoudre graphiquement f'(x) = 0
Graphiquement, que signifie que f' est nulle? Cela signifie que f change de variation, qu'il y a un extremum. Donc ici, ce sont les abcisses des points où f change de variation, soit S = {-1 , 1}.

3) Résoudre graphiquement f(x) < 4
Méthode : on trace la droite d'équation y=4 (droite horizontale), et les solutions de l'inéquation f(x) < 4 sont les intervalles de x où la courbe est en dessous de la droite ( les valeurs de ses y sont inférieures à 4). Ici les solutions sont S = ]- ∞ , -1,73[ U ]0, 1,73[.

4) Résoudre f(x) > 0
On reprend la méthode précédente en utilisant directement l'axe des abcisses ( y=0). Les solutions sont les intervalles de x où la courbe est au dessus de cet axe. Ici S =  ]-2,2, +∞[

5) Résoudre f'(x) > 0
Graphiquement , que signifie "f' est positive"? Cela signifie que la courbe Cf est croissante. Donc les solutions sont les intervalles de x où f est croissante, soit S=]- ∞ , -1[ U ]1, + ∞[.

6) Etablir les variations de g(x) = 1 / f(x)
la fonction g(x) = 1 / f(x) est la composée de 1/X et de f(x). D'après les cours sur les fonctions composées (), et en sachant que 1/f(x) n'est définie que lorsque f(x) ≠ 0 et que 1/x est toujours décroissante, alors:

- g(x) sera définie sur ]- ∞ , -2,2[ U ]2,2 , + ∞[,
- sur
]- ∞ , -2,2[ U ]-2,2 ,-1[ U ]-1, + ∞[, f(x) est croissante et 1/x est décroissante, donc g(x) est décroissante.
- sur ]-1, 1[, f(x) est décroissante et 1/x est décroissante, donc g(x) est croissante.

 

Pour vérifier que vous avez compris, entraînez-vous, et répondez aux questions suivantes :
1er graphique :
- Résoudre f'(x) = 0
- Résoudre f'(x) > 0
- Résoudre f(x) < 0
- Etablir les variations de 1/f(x)
2ie graphique:
- Dresser le tableau de variations de f
- Donner les antécédents de 5
- Donner les valeurs de f'(1) et f'(2).

 

 

Pour un entraînement efficace, pour vérifier que vous avez compris le chapitre et pour vous préparer au prochain contrôle, faites appel à mes services de cours par correspondance... Renseignez-vous    ICI.

 

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Published by Joséphine
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5 novembre 2010 5 05 /11 /novembre /2010 09:00

Les sciences sont des matières exigeantes, demandant une grande rigueur et beaucoup de travail personnel.

 

Beaucoup d'élèves peinent en maths et en physique. Et c'est dans l'ordre des choses n'est-ce pas?

Combien de fois ai je entendu : " les maths, c'est difficile", ou bien " on est pas des matheux, du coup notre fils ne l'est pas non plus".  Pourtant, ces matières ne sont pas plus compliquées que les autres, elles demandent juste beaucoup de temps, de logique, et d'investissement personnel.  Il est absolument possible de les maîtriser si on suit une méthode de travail adaptée à chacun, et efficace.

 

Dans ce but, je propose aux collégiens et lycéens un soutien à distance en mathématiques et/ou en physique-chimie.

 

Comment ça marche?


Régulièrement, l'élève m'indique le chapitre en cours, et les différentes notions vues dans ce chapitre. J'élabore un contrôle type de 4 exercices, que j'envoie par email. L'élève doit me rendre son travail quelques jours plus tard. Je corrige alors la copie, les différents niveaux de correction dépendant de la formule que vous aurez choisie ( correction simple, correction détaillée, correction détaillée avec explication du cours). Vous pouvez découvrir le détail des formules ICI.

 

Et ça fonctionne?

 

OUI !  L’élève s’entraîne, travaille, mais également assimile le cours et les méthodologies associées. Le support écrit qui lui est fourni sera rangé, classé, et pourra ainsi être consulté rapidement à la moindre difficulté. Ces contrôles réguliers  l'obligent à fournir un travail personnel ciblé sur les points clés du chapitre, et lui permettent ainsi de progresser rapidementLes notes remontent de façon certaine, et pour longtemps.

 

Attention: Les progrès ne seront possibles que si l'élève suit l'ensemble des recommandations qui lui seront données.

 

Comment dois-je faire pour bénéficier de ce soutien particulier?

 

Contactez-moi par email à l'adresse : lesbonnesnotes@yahoo.fr afin de me faire part de votre demande.

 

 

 

 

 

 

 

 

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