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4 novembre 2010 4 04 /11 /novembre /2010 10:50

Après avoir appris à décomposer une fonction et à en trouver son ensemble de définition dans l'article précédent, on peut à présent en étudier les variations. Le plus souvent, l'énoncé de l'exercice vous donne les intervalles où vous devez travailler.

 

Que dit le cours ?

  • Si 2 fonctions ont mêmes variations, alors la composée des 2 fonctions est croissante.
  • Si 2 fonctions ont des variations contraires, alors la composée des 2 fonctions est décroissante.

Mais il faut faire attention à l'intervalle sur lequel on étudie les variations de chacune:
Si on cherche les variations de f = u o v sur I: On étudie les variations de v(x) pour x € I, et les variations de u(x) pour x € ........à v(I) .
Qu'est-ce que v(I) ?  C'est l'intervalle "image" de I par v. Car, d'après le schéma de décomposition, v prend ses valeurs dans I, mais u prend ses valeurs dans v(I).
VarCompFonctions8

 

Exemple 1, simple : VarCompFonctions1 - copie
Question : Etudier les variations de f(x) sur  ] - ∞ , 4 [

- On commence par décomposer f :
VarCompFonctions3 - copie
- Variations de u(x) sur ] - ∞ , 4 [  : u(x) est une fonction affine dont le coefficient directeur est positif, donc u(x) est croissante sur IR, donc sur ] - ∞ , 4 [.

- Cherchons l'intervalle décrit par u(x) lorsque x € ] - ∞ , 4 [:
VarCompFonctions5 - copie

- Variations de v(x) : c'est la fonction carré : elle fait partie des fonctions usuelles qui sont détaillées dans le cours, donc on est sensé connaître ses variations : sur ] - ∞ , 0 [, v(x) est décroissante.

- Conclusion : Sur ]- ∞ , 4[, f est la composée d'une fonction croissante (u) et d'une fonction décroissante (v), donc f est décroissante.

 

Exemple 2, avec la fonction inverse:  VarCompFonctions6

Question : Etudier les variations de f(x) sur  ] - ∞ , 5 [

 - On commence par décomposer f :
VarCompFonctions16 2
VarCompFonctions14
- Variations de u(x) sur ] - ∞ , 5 [  : u(x) est une fonction affine dont le coefficient directeur est positif, donc u(x) est croissante sur IR, donc sur ] - ∞ , 5 [.

- Cherchons l'intervalle décrit par u(x) lorsque x € ] - ∞ , 5 [:
VarCompFonctions7

- Variations de v(x) : c'est la fonction inverse : elle fait partie des fonctions usuelles qui sont détaillées dans le cours, donc on est sensé connaître ses variations : sur ] - ∞ , 0 [, v(x) est décroissante.

- Conclusion : Sur ]- ∞ , 5[, f est la composée d'une fonction croissante (u) et d'une fonction décroissante (v), donc f est décroissante.

 

Exemple 3, avec 3 fonctions:  VarCompFonctions10  

Question : Etudier les variations de f(x) sur  ] - ∞ , 0 [

 - On commence par décomposer f :
VarCompFonctions11
VarCompFonctions12
- Variations de u(x) sur ] - ∞ , 0 [  : u(x) est la fonction carré donc u(x) est décroissante sur ] - ∞ , 0 [.

- Cherchons l'intervalle décrit par u(x) lorsque x € ] - ∞ , 0 [:
VarCompFonctions13

 

- Variations de v(x) : c'est une fonction affine de coef directeur positif : elle est croissante sur IR donc sur  ]0, + ∞[
- Variations de w(x)
: c'est la fonction racine carrée, elle est croissante sur ]0, + ∞[

- Conclusion : Sur ]- ∞ , 0[, f est la composée d'une fonction décroissante (u) et de 2 fonctions croissante (v et w), donc f est décroissante.

 

 

 

 

 

En compilant cet article et le précédent, vous savez répondre à toutes les questions concernant les variations de fonctions composées !

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Published by Joséphine - dans Maths Seconde
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4 novembre 2010 4 04 /11 /novembre /2010 10:42

Avant d'étudier les variations de fonctions grace aux dérivées, vous devez apprendre les différentes méthodes telles que la composition de fonction ou l'association de fonction. Regardons ici de plus près la composition de fonctions.
Première étape, il faut savoir décomposer une fonction en fonctions usuelles, et trouver son ensemble de définition.

 

Par exemple , décomposer f(x) = (3x - 5)2

Il s'agit de x, à qui l'on applique une fonction affine, puis on applique la fonction carrée à cette fonction affine. Ce qui donne le schéma suivant:
  FComp1
On nomme alors u(x) = 3x-5 et v(x) = x2. Alors on dit que f(x) = v(u(x)) = v o u(x).
Mais attention, il faut également s'occuper de l'ensemble de définition de f(x):  Puisqu'on applique u à x, il faut que x € D(u).  Et puisque l'on applique v à u(x), il faut que u(x) € D(v).  Or, D(u) = IR , et D(v) = IR, il n'y a donc aucun problème, D(vou) = IR.

 

Exemple avec un problème dans l'ensemble de définition:  FComp2
On décompose f de la façon suivante:   FComp3

avec:

FComp4
et FComp5

D'où l'ensemble de définition de f :FComp6
x € D(u) : pas de problème puisque D(u) est IR

FComp7 Donc   FComp8

 

Troisième exemple, avec une fonction inverse:  FComp9
Schéma de décomposition : FComp10

avec:

FComp11
et FComp12

D'où l'ensemble de définition de f :FComp6
x € D(u) : pas de problème puisque D(u) est IR

FComp14 Donc  FComp15

 

 

A présent, on sait décomposer une fonction et surtout, trouver son ensemble de définition. Le prochain article traitera des méthodes pour étudier les variations de ces fonctions composées.

 

 

 

 

 

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Published by Joséphine - dans Maths 1°S & 1°STI
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28 octobre 2010 4 28 /10 /octobre /2010 08:00

Dans le chapitre exponentielle, 3 limites particulières sont à connaître par coeur.  Elles sont absolument nécessaires, et leur utilisation est systématique dans tous les contrôles, ainsi qu'au Bac.

Pour se souvenir de ces limites particulières, il suffit de se poser les bonnes questions:

  • La limite de xex en +∞ ne pose aucun problème puisque cela fait +∞ x +∞ = +∞. Donc la limite particulière est en -∞.
  • Idem pour ex/x : en -∞ cela ne pose aucun problème, alors qu'en +∞, cela fait +∞/+∞, ce qui est une forme indéterminée.

Pour retenir le résultat , il suffit de tracer la fonction y=x sur le graphe de ex. On voit que y=x est toujours située en dessous de ex, donc entre les 2, c'est ex qui l'emporte. Donc, pour ces limites particulières, je les calcule en remplaçant x par 1.

 

Leurs démonstrations constituent un sujet de ROC.

 

Démonstration1

ROCLimPart2-copie-1

Schéma de démonstration :

ROCexpSchema2

 

 

Démonstration2

 ROCexpLimPart2

Schéma de démonstration :

ROCexpSchema1

 

Démonstration3

ROCexpLimPart1

 

 

Pour un entraînement efficace, pour vérifier que vous avez compris le chapitre et pour vous préparer au prochain contrôle, faites appel à mes services de cours par correspondance... Renseignez-vous    ICI.

 

 


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Published by Joséphine - dans Maths T°S
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27 octobre 2010 3 27 /10 /octobre /2010 19:25

Dans le chapitre sur la fonction exponentielle, il n'y a pas grand chose à savoir si ce n'est: 

ex toujours positive,  e0 = 1 et e1 = eexp-x-.png

  • (ex)' = ex
  • (eu(x))' = u'eu(x)

ex croissante sur IR
lim ex = +∞   et    lim ex = 0 
x →  +∞                    x → - ∞

  • eab = (ea)b
  • ea+b=eaxeb
  • e-b=1/eb
  • ea-b=ea/eb

Et les limites particulières démontrées dans un autre article.

 

Ce chapitre est sujet à de nombreux ROC. Les démonstrations de théorème sont difficiles à retenir. Il faut être méthodique et les ré-écrire sur des fiches en notant le schéma de démonstration.

 

ROC n°1 sur l'unicité:
Il existe une unique fonction f(x) qui ne s'annule jamais, telle que f'(x) = f(x) et f(0)=1

  • Montrons donc qu'une telle fonction (qui verifie f'=f et f(0)=1) ne s'annule pas sur IR

 

Schéma de démonstration :

ROCexpSchema3

Démonstration:

ROCexp1.JPG

 

  • Montrons maintenant que cette fonction est unique :

Schéma de démonstration

ROCexpSchema4 

 

Démonstration:

ROCexptheoreme-copie-1.jpg

 

 

La suite des ROC dans les autres articles de la catégorie Maths Terminale.

 

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Published by Joséphine - dans Maths T°S
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22 octobre 2010 5 22 /10 /octobre /2010 10:50

Vous voilà en vacances ! Pour les lycéens, et même pour les 3iè, le mot "vacances " est tout relatif : vous aurez pas mal de boulot à faire à la maison, des dissertations à rendre, des exposés, et il faudra également préparer les contrôles de la rentrée. 

Chat2

Mais, il faut également utiliser ces vacances pour ranger et se mettre à jour!

Depuis septembre, vous avez déjà accumulé pas mal de feuilles volantes dans vos differents cahiers et classeurs. Les TP ne sont pas rangés, les corrections de devoirs surveillés ne sont pas dans vos copies, les cahiers sont pas très bien tenus, bref... c'est le grand bazar. Alors voila une petit récapitulatif de tout ce qu'il est impératif de faire pour la rentrée des vacances:

  • Rendre ses cours + jolis, lisibles, souligner, encadrer, effacer les ratures... 
  • Rattraper le ou les cours loupés pour cause d'absence quelconque,
  • Coller toutes les feuilles volantes ou les ranger dans le classeur,
  • Recopier les exercices ou cours notés sur des feuilles pour cause d'oubli de cahier,
  • Jeter les brouillons,
  • Trier et ranger les classeurs.

 

Côté travail personnel, bien sur vous devez faire ce que les profs vous ont demandé.

Mais vous devez faire plus !

  • Refaites les contrôles sur table qui vous ont été posés depuis septembre,
  • Commencez à préparer les contrôles communs, même s'ils n'ont lieu "que" 15 jours après la rentrée. Croyez vous que vous aurez plus de temps pour réviser une fois que les cours auront repris? Sans hésitation, non. C'est maintenant qu'il faut s'y mettre,
  • Faites les fiches des matières importantes (fiches de méthode, surtout).

 

Si vous réfléchissez bien, les vacances vous permettent d'éviter 7 jours de cours, soit 50 ou 60h de cours, 10h de transport voire plus, et au moins 30h de travail perso du soir et du week end, soit une centaine d'heures de travail. Donc, si vous bossez ne serait-ce que 35h pendant ces 10 jours, vous aurez diminué de 2 tiers votre temps de travail... ça reste des vacances, non? !!

 

 

Pour des conseils plus personnalisés, pour acquérir méthodes, autonomie et efficacité dans votre travail... faites appel à mes services de coaching ! ... Renseignez-vous    ICI.

 

 

 


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Published by Joséphine - dans organisation
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21 octobre 2010 4 21 /10 /octobre /2010 06:52

Pour être informé des nouveaux articles, n'hésitez pas à vous inscrire à la newsletter !

Vous pourrez ainsi repérer plus facilement les articles qui vous intéressent.

 

Il vous suffit de renseigner votre email dans l'encadré à droite des articles,

 

A très bientôt !

 

Joséphine

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Published by Joséphine
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20 octobre 2010 3 20 /10 /octobre /2010 10:10

Les fonctions représentent, de manière mathématique, les phénomènes physiques qui nous entourent : circulation de l'air, de l'eau, temperature, fonctionnement d'une automobile, lancer d'une fusée, risques financiers etc.

Le but est donc de savoir comment varie par exemple la consommation d'essence en fonction du nombre de kilomètres parcourrus, ou en fonction du poids des bagages. Alors pour savoir si justement, cela augmente, ou cela diminue, ou les 2 suivant les valeurs du paramètre (ici le poids des bagages)  choisi, on étudie les variations de la fonction:  f(poids des bagages)=consommation d'essence, ou plutot, f(x)=y.

 

Comment ça fonctionne?

Si, lorsque la variable augmente, alors la fonction augmente, OU SI , lorsque la variable diminue, alors la fonction diminue, on dit que la fonction est croissante.
Par exemple, la consommation d'essence augmente lorsque le poids des bagages augmente, et elle diminue lorsque le poids des bagages diminue.

Si, lorsque la variable augmente, la fonction diminue, OU SI lorsque la variable diminue, la fonction augmente, on dit que la fonction est décroissante.
Par exemple le nombre de radiateurs allumés en fonction de la température extérieure: Plus il fait chaud, moins il y a de radiateurs allumés et moins il fait chaud, plus il y a de radiateurs allumés.

 

Le cours dit :

  • si a < b et f(a) < f(b) OU si a > b et f(a) > f(b)   alors f est croissante
  • si a < b et f(a) > f(b) OU si a > b et f(a) < f(b)   alors f est décroissante

graphcr-copie-1.jpg  graphdecr.jpg

 

 

 

 

 

 

 

             
                fonction croissante                                                            fonction décroissante

 

Méthodes:

En seconde, il n'y a pas 36 méthodes pour étudier les variations d'une fonction. Vous ne pouvez d'ailleurs pas étudier les variations de toutes les fonctions, car la méthode apprise cette année ne le permet pas. Mais il faut toujours un début !  De manière général, il s'agit de manipuler des inégalités.

On prend 2 antécédents (donc des x) dans un certain ordre, a et b avec a<b par exemple. Et on "habille" a et b de façon à obtenir f(a) et f(b) et à les comparer (savoir lequel est le plus grand ou lequel est le plus petit).

Exemple 1 : Trouver les variations de f(x) = 4x - 6 sur IR
Soit a, b 2 réels avec a<b. Alors:
4a < 4b (multiplication par un réel positif, je ne change pas le signe de l'inégalité)
4a - 6 < 4b - 6 ( j'enlève 6 à droite et à gauche, cela ne change rien)
donc f(a) < f(b) :  La fonction est croissante car a<b implique f(a) < f(b)

Exemple 2 : Trouver les variations de f(x) = -5x + 8 sur IR
Soit a, b 2 réels avec a<b. Alors:
-5a > -5b ( multiplication par un réel négatif, je change le signe de l'inégalité)
-5a + 8 > -5b + 8  ( je rajoute 8 à droite et à gauche, cela ne change rien)
donc f(a) > f(b): La fonction est décroissante car a<b implique f(a) > f(b)

 

Le tableau de variations

Les résultats des variations peuvent être récapitulés dans un tableau de variations. Dans certains exos, on vous demande de le créer à partir d'un graphique, mais on peut aussi vous le donner et vous demander de l'interpréter.

Exo Type 1 : Tracer le tableau de variations de cette fonction :

fonctionquelconque.png

On récapitule les indications données par ce graphique : le domaine de définition est ]-2, 4[. Il y a 3 extremum locaux, (les points où la courbe change de variation) : en -1, il vaut 3, en 1 il vaut -5, en 3 il vaut 3. D'où le tableau suivant :

tableauvar1.jpg

Exo Type 2 : Interpréter le tableau de variations précédent :
Ici, vous devez indiquer sur quels intervalles la fonction est croissante et/ou décroissante, ainsi que le lieu et la valeur des extremum locaux ( lieu = en quel x / valeur = en quel y). On répond donc:
- f(x) est croissante sur ]-2, -1[U]1, 3[   et f(x) est décroissante sur ]-1, 1[U]3, 4[   (on lit les intervalles de x où f est croissante puis décroissante)
- f(x) possède 3 extremum locaux : en -1, il vaut 3, en 1 il vaut -5 et en 3 il vaut 3.
- Le minimum de f(x) vaut -10, il est atteint en -2 et 4. Le maximum de f vaut 3, il est atteint en -1 et 3.

 

Astuces et conseils

Comment savoir à quel moment je parle de x, à quel moment je parle de y : Dès qu'on dit "en ....", alors il s'agit d'un x. Mais si vous parlez de la valeur d'un extremum local, d'un changement de variation ou de la valeur d'un maximum et d'un minimum, alors il s'agit de f, donc de y. Les x se lisent sur la première ligne du tableau de variations, les y ( c'est à dire les f(x) ) se lisent sur la 2ième ligne, là où il y a les flèches.

Comment résoudre graphgiquement une équation ou une inéquation : il faut aller lire l'autre chapitre .

Que veut dire "comparer" ? comparer A et B signifie chercher quel est le plus grand et quel est le plus petit, donc mettre >  ou < entre A et B.

Un extremum est-il obligatoirement un maximum ou un minimum? NON. Un extremum est un endroit où la courbe change de variation. Ce n'est pas obligatoirement un max ou un min.

 

 

Pour un entraînement efficace sur d'autres démonstrations par récurrence, pour vérifier que vous avez compris le chapitre et pour vous préparer au prochain contrôle, faites appel à mes services de cours par correspondance... Renseignez-vous    ICI.

 

 

 


 

 

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Published by Joséphine - dans Maths Seconde
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18 octobre 2010 1 18 /10 /octobre /2010 13:35

Le programme de physique chimie est chargé en 1°S. Il prolonge le programme de Seconde (programme d'avant réforme), il le complète, et sert également de préambule au programme de Terminale. Ne faites pas l'impasse sur cette matière, les bases de 1°S sont ensuite indispensables pour réussir sa Terminale.

 

En physique, le programme contient de la mécanique (étude des forces), de l'électricité, et de l'optique.

En chimie, vous allez étudier les solutions électrolytiques (chargées électriquement), les titrages grâce aux réactions d'oxydo-réduction et acide-base, et la chimie organique (c'est à dire la chimie des molécules dérivées du carbone (pétrole etc), ces molécules ont des propriétés particulières)

 

Ce que vous devez faire cette année:

 

Vous devez apprendre:

  • Le cours : le nouveau vocabulaire, les différentes lois de la physique et de la chimie, bref, le coeur du cours.
  • Les exemples : ils font partie du cours, il faut les apprendre.
  • Les réactions chimiques vues en cours et en TP, ainsi que les noms des principaux éléments (et il y a une vingtaine d'éléments principaux)
  • Les TP sont à apprendre également! Ils font partie du cours. Si le TP n'est pas fini lors de la séance, apprenez -le sur le livre. N'oubliez pas d'apprendre la verrerie qui a servi à l'expérience en chimie, et les noms précis des différents éléments du matériel utilisé en physique.

Vous devez refaire les exercices, en physique comme en chimie, et savoir les refaire sans regarder la correction.

 

Si vous ne vous y êtes pas encore mis sérieusement depuis septembre, vous devez profiter des vacances de Toussaint pour rattraper le retard. Rangez les TP, les cours, séparez les exercices, collez les feuilles volantes. Et apprenez votre cours depuis la rentrée, les contrôles communs ne vont pas tarder, et ce n'est pas entre 2 contrôles de maths et de SVT que vous pourrez tout apprendre d'un coup.

 

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Published by Joséphine - dans Physique 1°S
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15 octobre 2010 5 15 /10 /octobre /2010 06:09

C'est quoi une fonction?

C'est un outil, un outil mathématiques. En mécanique ya les tournevis qui transforment des pièces détachées en moteur par exemple, en couture ya les aiguilles, qui transforment du tissu en vetements, et bien en maths, ya les fonctions. C'est un outil qui permet de transformer un chiffre en un autre.

Par exemple, la fonction " rajouter 2": Elle transforme 1 en 3 (car 1+2=3), 13 en 15 (car 13+2=15) , 759 en 761 (car 759+2=761). Celle-ci est simple, mais jusqu'en Terminale, vous en verrez de toutes sortes, bien plus compliquées.

Et ça ressemble à quoi?

Il y a une infinité de fonctions différentes. On les nomme f, et on appelle "x" le chiffre qui va subir la transformation, c'est l'antécédent. Du coup, x va être transformé par f, et le résultat sera noté "y", c'est l'image.  On note y = f(x) ( qui se dit "f de x" ). Des exemples de f(x):

fonctionsexemples.jpg
Ces fonctions peuvent être "dessinées", on dit qu'on peut les représenter graphiquement.

Et qu'est-ce qu'on va en faire, des fonctions?

On va jouer avec, les tordre dans tous les sens, les utiliser pour trouver x quand on connait y, ou pour trouver y quand on connait x, soit par le calcul, soit grâce à la représentation graphique.

 

Les Méthodes Calculatoires :

 

  • Le plus simple : Calculer f(k) OU calculer l'image de k par f

Méthode : on remplace x par la valeur donnée (k)  et on calcule f(k).

Exemple : f(x) = 3x - 7
calculer f(x) pour x = 2 OU Quelle est l'image de 2 par f :
f(2) = 3 x 2 - 7 = 6 - 7 = -1
Donc : f(2) = -1 OU l'image de 2 par f est -1

 

  • Donner les coordonnées du point d'intersection de la courbe avec l'axe des ordonnées

Il faut savoir comment on définit l'axe des ordonnées: c'est l'axe vertical du repère. Quel est le point commun à tous les points qui sont sur cet axe? leur abcisse (x) vaut 0. C'est donc la droite d'équation x=0. Donc cela revient à la méthode juste précédente, avec k=0. On trouve alors la valeur du y correspondant, on va l'appeler j, et les coordonnées du point sont (0,j).

 

  • Résoudre f(x) = k OU calculer l'antécédent de k

Méthode : Ecrire l'égalité avec les x et résoudre pour trouver x.
Exemple : Résoudre f(x) = 5 OU quel est l'antécédent de 5 ?
3x - 7 = 5 ↔ 3x = 5 + 7  ↔ x = 12/3 = 4
Donc : la solution à l'équation f(x) = 5 est 4 OU l'antécédent de 5 par f est 4. 

 

  • Donner les coordonnées du point d'intersection de la courbe avec l'axe des abcisses

Il faut savoir comment on définit l'axe des abcisses : c'est l'axe horizontal du repère. Quel est le point commun à tous les points qui sont sur cet axe? leur ordonnée (y) vaut 0. C'est donc la droite d'équation y=0. Donc cela revient à la méthode juste précédente, avec k=0. On trouve alors la valeur du x correspondant, on va l'appeler j, et les coordonnées du point sont (j, 0).

A retenir : s'il est demandé de trouver une image, alors le chiffre qui est donné dans la question est l'antécédent, c'est à dire x. S'il est demandé de trouver un antécédent, alors le chiffre qui est donné dans la question est l'image, c'est à dire y.

 

Les Méthodes Graphiques :

 

graph1a

 

  • Trouver y à partir de x, ce qui se dit "trouver l'image de x" ou bien " trouver f(x)"

On trace une droite verticale d'abcisse x, et on lit la valeur du y lorsque cette droite coupe la courbe. Exemple donné : Trouver l'image de 4 : ici on lit y = -3.


  • Trouver x à partir de y, ce qui se dit "trouver l'antécédent de y" ou bien " trouver la solution à l'équation y = f(x)" ou encore "Résoudre graphiquement f(x)=k"

On trace la droite horizontale d'équation y=k, et on lit la valeur du x lorsque cette droite coupe la courbe.  Exemple donné : Trouver les antécédents de 3 : ici on lit x=-3,3 et x=7,3.


  • Résoudre graphiquement f(x)> k (k est un chiffre que l'on vous donne dans l'énoncé)

On trace la droite horizontale d'équation y=k, et les solutions sont les intervalles de x ( à lire sur les abcisses) où la courbe est au-dessus de la droite. Exemple donné : Résoudre f(x)>3 : ici on lit x € ]- , -3,3[U]7,3,+[  .


  • Résoudre graphiquement f(x)< k (k est un chiffre que l'on vous donne dans l'énoncé)

On trace la droite horizontale d'équation y=k, et les solutions sont les intervalles de x (à lire sur les abcisses) où la courbe est en dessous de la droite.  Exemple donné : Résoudre f(x)<3 : ici on lit x € ]  -3,3  ,  7,3 [

 


 

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13 octobre 2010 3 13 /10 /octobre /2010 06:00

Une nouvelle méthode de démonstration débarque cette année : la récurrence. Elle s'applique au chapitre des suites.

 

Le principe :

On montre qu'une proposition est vraie à un rang (le premier en général).
Puis, on fait l'hypothèse qu'il existe un rang quelconque, que l'on nomme k, où la proposition est vrai, et on démontre que, sachant cela, la proposition est vraie au rang suivant k+1.

Du coup, comme la proposition est vraie au rang 1, alors elle est vraie au rang 2,
Et comme la proposition est vraie au rang 2, alors elle est vraie au rang 3,
Et comme la proposition est vraie au rang 3, alors elle est vraie au rang 4,
et ainsi de suite....
La proposition est donc vraie à tous les rangs ! Youpi c'est trop facile !!! ............Non?

 

La rédaction:

Elle diffère suivant les profs, mais au final elles veulent toutes dire la même chose :

Soit Pn la proposition au rang n : "........................................."

1) Montrons que P0 est vraie:

2) Supposons qu'il existe un k dans IN tel que Pk est vraie , montrons alors que Pk+1 est vraie.

3) On a montré que Pn est vraie au premier rang, et qu'elle est héréditaire, donc Pn est vraie pour tout n dans IN. 

 

La méthode:  

  • Première étape, montrer que la proposition est vraie au 1er rang :

En général c'est très facile, sauf que ça l'est tellement qu'on a parfois des difficultés à la rédiger! Il faut montrer que la proposition est vraie au 1er rang, donc pour n=0 si n€IN, pour n=1 si n€IN*, ou même pour n=6 si n>5 ! 

  • Exemple 1 : Montrer que pour tout n de IN*, 0≤ Un ≤1:
    rec1
    rec2
    C'est ok, 0≤ U1 ≤1
  • Exemple 2 : Prouver l'égalité :
    rec3
    rec4
    On a bien notre égalité au premier rang.
  • Exemple 3 : Prouver l'inégalité :
         rec5
       rec6
        On a bien notre inégalité au premier rang.
  • 2iè étape, l'hérédité:

On commence par rédiger l'étape telle qu'elle est écrite ci-dessus. Cette étape est la plus compliquée mais faite avec méthode elle peut devenir très simple.

  • Exemple 1 : Prouver l'égalité :

                                   rec3

On ne laisse pas le sigle Somme, on écrire le terme de gauche sous forme d'une addition.

rec16

On écrit Pk et Pk+1 l'une en dessous de l'autre. La première égalité est l'hypothèse de récurrence que l'on a le droit d'utiliser, la deuxième égalité est celle que l'on cherche à trouver.

 On suit le schéma de démonstration suivant :

rec8

On part du terme de gauche de la conclusion, on l'écrit en fonction du terme de gauche de l'hypothèse, on utilise l'hypothèse, et on conclue pour arriver au terme de droite de la conclusion.

Début de la démonstration:
rec13
Or     rec14
On a obtenu le terme de droite de Pk+1, l'étape 2 est terminée.

  • Exemple 2 : Prouver l'égalité:

                                    rec17

On ne laisse pas le sigle Somme, on écrire le terme de gauche sous forme d'une addition.

rec18

On écrit Pk et Pk+1 l'une en dessous de l'autre, puis on suit le schéma de démonstration numéroté.

Début de la démonstration:
rec19
Il ne reste plus qu'à montrer que les expressions suivantes sont égales:
rec20
Pour cela, il suffit de développer et réduire les 2 termes.

  • 3iè étape, on conclue par une simple rédaction puisque tout le travail de démonstration a été fait.
    P0 est vérifiée, Pn est héréditaire, donc pour tout n, Pn est vérifiée.

Astuces diverses:

- On respecte le schéma de l'étape 2.

- On se simplifie la vie : au lieu de s'arracher les cheveux à essayer de factoriser une expression pour montrer qu'elle est égale à une autre, on développe les 2 expressions. Un exemple est dans la section précédente.

- On n'oublie pas que qn+1 = q x qn

- On n'oublie pas que n est toujours positif ou nul.

 

A faire soi-même :

Montrer que  rec5

Montrer que  rec23
Montrer que  rec24
Montrer que  rec25

 

Pour un entraînement efficace sur d'autres démonstrations par récurrence, pour vérifier que vous avez compris le chapitre et pour vous préparer au prochain contrôle, faites appel à mes services de cours par correspondance... Renseignez-vous    ICI.

 

 

 


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Published by Joséphine - dans Maths T°S
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