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14 février 2012 2 14 /02 /février /2012 09:00

Le voila, le fameux chapitre des dérivées.....

  • Pour commencer

Il faut savoir que vous allez devoir oublier tout ce que vous avez appris depuis 3 ou 4 mois.
La dérivée d'une fonction est l'outil qui va vous permettre, à présent, de connaître les variations de la fonction associée.
Donc on oublie les inégalités à répétition, les tortures de l'esprit pour trouver les variations d'une fonction composée, associée, translatée, inversée....
Maintenant, c'est + simple ! ( si si... )

 

  • Comment trouver f'(x)

Cette dérivée, on l'appelle f'(x). ( lire "f prime de x" )
Elle se déduit de f(x) par des formules à apprendre, souvent sous forme de tableaux de formules.

Pour savoir quelle formule utiliser, la première question à se poser est : sous quelle forme est f ?
Si c'est un produit, alors j'utilise la formule du produit.
Si c'est un quotient, j'utilise la formule du quotient...
Si c'est une fonction composée, (youpi on adoooooore les fonctions composées), ben... on utilise la formule des fonctions composés, évidemment....

Petit conseil comme ça....
Ecrivez les différentes parties de f sous formes de 2 fonctions, u(x) et v(x). A côté, vous cherchez l'expression de u'(x) et v'(x). Une fois que tout est noté, alors là vous pouvez commencer à écrire f'. Pas avant, sinon, vous allez droit vers l'erreur...

Exemple :
f(x) = (3x+1)cos(x).
f est sous la forme d'un produit, donc du genre uv, dont la dérivée est u'v + uv'.
u(x) = 3x+1               v(x)=cos(x)
u'(x) = 3                    v'(x)=-sin(x)

 

f' = u'v + uv' = 3cos(x) + (3x+1)(-sin(x)) = ( on arrange un peu l'écriture) = 3cos(x) - (3x+1)sin(x)

 

  • A quoi ça sert ?

Une fois f'(x) trouvée, on en étudie le signe.

  • Si f'(x) > 0, alors f est croissante
  • Si f'(x) < 0, alors f est décroissante

Tout ceci consiste donc en une banale étude de signe, que vous apprenez à réaliser depuis la 3ieme.
Tableaux de signes, factorisations, signe d'un produit, d'un quotient, d'un polynôme du 2d degré... tout est utile ici.

 

  • La rédaction :

f(x) = ........
f(x) est du genre ................. , donc f'(x) est du genre.....................
Calcul de f'(x) : ...................
f'(x) = 0 <=> .......
On résoud, on trouve les valeurs pour lesquelles f'(x) s'annule.
On note les résultats dans un tableau de signe, qui sera également le tableau des variations de f(x).

 

exemple : Je ne donne pas l'expression de f, mais j'imagine une fonction dont la dérivée serait la suivante :

tableauderivee.jpg

 

Donc 4 et -1/2 sont les deux seules valeurs à indiquer sur la 1ere ligne du tableau de variations.

4 est la valeur pour laquelle f' s'annule, et -1/2 est la valeur interdites pour f et pour f'.

 

Ce qui donne comme tableau de variation:

tableauderivee.jpg

 

  • Astuces pour ne pas tomber dans tous les pièges.... !

- Si on obtient un dénominateur au carré.. surtout ne pas le développer ! N'oubliez pas qu'on cherche un signe, donc autant laisser la forme carrée, qui est toujours positive.

- Si f'(x) est une fraction, alors résoudre f'(x) = 0 revient à résoudre "numéateur =0".

- On n'oublie pas qu'on ne sait pas étudier le signe d'une addition ou soustraction. Par contre on sait étudier celui d'un produit ou d'un quotient ( règle des signes). DONC : on factorise, ou on met sous le même dénominateur, avant d'entamer quoi que ce soit.

- Dans le tableau de variations, on fait bien attention à faire apparaître, dans la 1ère ligne, les racines de f'(x) ET les valeurs interdites s'il y en a.

 

- La valeur 0 n'a aucune raison d'apparaître plus qu'une autre dans la première ligne du tableau de variations. Je vois souvent des élèves écrire directement ce 0, ligne du haut, en plein milieu du tableau. Or il ne se passe pas obligatoirement quelquechose pour f ou pour f' en x=0.

Ce que nous cherchons, ce sont les valeurs de x pour lesquelles f'=0. Cela peut tomber sur 0 ou pas.

  • Les à côtés tellement sympathiques du chapitre....!!!

Toutes ces jolies notions de nombre dérivé, de tangente, de taux de variation, d'approximation affine....  C'est chouette, hein?!!! Non, c'est pas chouette, vous y comprenez pas grand chose, c'est normal...

Mais parce que là, on commence à avoir les neurones fatigués, j'expliquerai tout ça dans un futur billet... 

 

Pour en savoir plus....    Faites appel à mes services de cours à distance.



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22 novembre 2010 1 22 /11 /novembre /2010 11:15

Cette 2ième partie du chapitre traitera des barycentre partiels et des ensembles de points.

  Notation : AB signifie vecteur AB, AB signifie longueur A.

 

  • Barycentres partiels

Cours : Si G est Bary (A,a) (B,b) (C,c) et H Bary de (A,a) (B,b) alors G Bary de (H,a+b) (C,c)

 

Astuce : il est possible de "dédoubler"  un point en partageant son poids.

Exemple : Soit G Bary (A,3) (B,5) (C,-3) ,  H Bary de (B,2) (C,-3) et J milieu de [AB]. Montrer que H, G, J sont alignés.
H,G,J sont alignés si l'un des points peut etre écrit comme le bary des 2 autres.
J milieu de [AB]  ↔ J Bary (A,1) (B,1), et H Bary de (B,2) (C,-3)
Or G Bary (A,3) (B,5) (C,-3) c'est à dire, en dédoublant le point B,  G Bary (A,3) (B,3) (B,2) (C,-3)
J Bary (A,1) (B,1)  ↔ J Bary (A,3) (B,3)   et H Bary de (B,2) (C,-3)
D'après les Barycentres partiels, on peut remplacer (A,3) (B,3) par (J,6) et  (B,2) (C,-3) par (H,-1)
Donc G Bary (J,6) (H,-1) donc H, J,G sont alignés. 

 

  • Trouver des ensembles de points

Propriétés fondamentale : Si G est Bary (A,a) (B,b) (C,c),
alors pour tout point M on a aMA + bMB + cMC = (a+b+c) MG

 

A quoi ça sert ?

Le but des exos va être de trouver où sont les points M qui vérifient une relation donnée. Dans cette relation, le point M apparait plusieurs fois, ce qui empêche de résoudre directement. On va donc utiliser la propriété précédente pour transformer cette relation en une autre qui ne contient qu'une seule fois le point M.

3 types d'exercice:

- Soient 3 points A, B et C, trouver l'ensemble des points M tels que
II 3MA - 2MB + 4MC II = II 2MA + 3MB II

On considère alors le point G bary (A,3) (B,-2) (C,4) et le point H bary (A,2) (B,3). Les poids donnés aux points sont les coefficients placés devant chaque vecteur. Comme on sait placer le barycentre de 2 ou 3 points pondérés, alors G et H peuvent être utilisés comme donnée du problème.

D'après la propriété fondamentale,,
3MA - 2MB + 4MC = (3 - 2 + 4) MG = 5MG
et 2MA + 3MB = (2 + 3) MH = 5MH
Donc la relation donne :
II 5MGII = II 5MH II , d'ou 5 IIMGII = 5 IIMHII , d'où MG = MH
Les points M sont donc sur la médiatrice du segment [HG]

 

- Soient 3 points A, B et C, trouver l'ensemble des points M tels que
II
3MA - 2MB + 4MC II = 10

On considère alors le point G bary (A,3) (B,-2) (C,4).
D'après la propriété, 3MA - 2MB + 4MC = (3 - 2 + 4) MG = 5MG
Donc la relation donne : II 5MGII = 10 , d'ou 5 IIMGII = 10, d'où MG = 2
Les points M sont donc sur le cercle de centre G de rayon 2

 

- Soient 3 points A, B et C, trouver l'ensemble des points M
tels que II
3MA - 2MB + 4MC II = II MA - MB II

On considère alors le point G bary (A,3) (B,-2) (C,4) MAIS... on ne peux pas considérer le point H bary (A,1) (B,-1) car il n'existe pas, car 1 - 1 = 0.
L'astuce : si on ne peut pas considérer le barycentre, c'est qu'il y a une autre facon d'écrire l'expression.
MA - MB = MA + BM = BM + MA = BA
Donc la relation donne :
II 5MGII = II BAII , d'ou 5 IIMGII = BA d'où MG = BA/5
Les points M sont donc sur le cercle de centre G de rayon BA/5.

 

 

 

Pour un entraînement efficace, pour vérifier que vous avez compris le chapitre et pour vous préparer au prochain contrôle, faites appel à mes services de cours par correspondance... Renseignez-vous    ICI.

 

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17 novembre 2010 3 17 /11 /novembre /2010 08:58

Le chapitre des barycentres allie géométrie vectorielle et calculs. Il y a peu de cours, par contre beaucoup de méthodes sont à apprendre.

 

Qu'est ce que c'est, et à quoi ca sert ?

Le barycentre est un point, un endroit spécial. Si on parlait du barycentre d'un objet, ce serait le "centre" de cet objet, c'est à dire le point d'équilibre de l'objet. En physique, ce point sera utilisé pour étudier l'objet.
Pourquoi parle-t'on de points "pondérés"?
- Imaginez votre double décimètre. Si vous le posez à plat sur une pointe de métal, vous devrez positionner la pointe de métal (G) au centre de la règle pour qu'elle se tienne en équilibre : normal, votre double décimètre est identique à chaque extrémité, chaque point est affecté du même poids, le barycentre est alors l'"isobarycentre" ( iso veut dire égal).
bary11- Imaginez maintenant une louche: elle est bien plus lourde du coté bombé que du coté du manche. Si vous la mettez sur une pointe de métal (G), en positionnant la pointe au milieu de la longeur de la louche, celle ci va pencher du coté le plus lourd. Pour compenser cela et trouver l'équilibre, on va poser sur le manche un poids supplémentaire P. Le centre de la louche sera alors le barycentre du coté bombé affecté du poids "1" , et du manche affecté du poids P.
bary13bary12- Imaginez enfin que non, finalement, on ne met pas de poids sur le manche pour compenser. Alors pour rétablir l'équilibre, il faudra trouver la position de G la plus adaptée, et donc la rapprocher du coté lourd.
bary14

La plupart des objets de notre vie sont asymétriques. Pour pouvoir étudier les forces qui s'y exercent, leur mouvement ou tout autre chose en physique, il faut "réduire" cet objet à un seul point. C'est le barycentre qui sera choisi, et on l'appellera en physique, le centre de gravité.

Ce qu'il faut savoir :
- la définition du barycentre,
- la propriété du barycentre,
- les petites propriétés,
- l'association de barycentre. 

Ce qu"il faut savoir faire:
- Construire le barycentre de 2 points, de 3 points,
- Montrer qu'un point est le barycentre de 2 ou 3 points,
- Montrer que 3 points sont alignés,
- Trouver des ensembles de points.

 

Rappels préliminaire nécessaires :
- La relation de Chasles: bary4
- La règle du parallélogramme, avec I le milieu de AB : bary5
- A retenir pour les résolutions d'exercices :
  bary6bary9  bary10

 

Définition fondamentale : G est le Bar (A,a) (B,b) alors bary1

 

Construction d'un barycentre :

  • Sans les coordonnées :

De la définition, grace à la relation de Chasles, on obtient la formule permettant de construire G connaissant A et B :

bary7 

Certains profs admettent l'utilisation directe de la formule, d'autres veulent que vous la retrouviez à chaque fois. Regardez dans les exos corrigés comment votre prof procède et faites de la même façon.

Pour retrouver ces formules:

Partez de la définition. Gardez GA puisque AG doit apparaitre dans la formule finale, mais faites Chasles sur GB pour le faire disparaître. Pointez sur le seul point qui reste, A. Vous obtenez aGA + b(GA + AB) = 0. Développez, transformez les GA en AG, isolez-le, et c'est fini.

Avec 3 points la formule devient :

bary8

  • Avec coordonnées :

bary3

Formules à adapter avec 3 points.

 

Montrer qu'un point est le barycentre de 2 points, ou 3 points:

Le but est donc d'utiliser les données du problème pour arriver à une formule du meme type que la définition du barycentre: bary1
Exemple : AC = 3 CB, exprimer A comme le bary de B et C:
On doit donc trouver un formule du genre aAB + bAC = 0.
On ne touche pas  au vecteur AC, on rapatrie CB à gauche du =, et comme CB doit disparaitre, on fait Chasles en pointant sur A:
AC
-3 (CA+AB) =0  d'ou AC - 3CA - 3AB =0 d'ou 4AC - 3AB = 0. A est donc le Bary de (B,-3) (C,4).

 

 

 

Dans l'article suivant, nous étudierons les méthodes concernant les barycentres partiels ( ou barycentres associés )  ainsi que les exercices types pour trouver des ensembles de points.

 

 

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4 novembre 2010 4 04 /11 /novembre /2010 10:42

Avant d'étudier les variations de fonctions grace aux dérivées, vous devez apprendre les différentes méthodes telles que la composition de fonction ou l'association de fonction. Regardons ici de plus près la composition de fonctions.
Première étape, il faut savoir décomposer une fonction en fonctions usuelles, et trouver son ensemble de définition.

 

Par exemple , décomposer f(x) = (3x - 5)2

Il s'agit de x, à qui l'on applique une fonction affine, puis on applique la fonction carrée à cette fonction affine. Ce qui donne le schéma suivant:
  FComp1
On nomme alors u(x) = 3x-5 et v(x) = x2. Alors on dit que f(x) = v(u(x)) = v o u(x).
Mais attention, il faut également s'occuper de l'ensemble de définition de f(x):  Puisqu'on applique u à x, il faut que x € D(u).  Et puisque l'on applique v à u(x), il faut que u(x) € D(v).  Or, D(u) = IR , et D(v) = IR, il n'y a donc aucun problème, D(vou) = IR.

 

Exemple avec un problème dans l'ensemble de définition:  FComp2
On décompose f de la façon suivante:   FComp3

avec:

FComp4
et FComp5

D'où l'ensemble de définition de f :FComp6
x € D(u) : pas de problème puisque D(u) est IR

FComp7 Donc   FComp8

 

Troisième exemple, avec une fonction inverse:  FComp9
Schéma de décomposition : FComp10

avec:

FComp11
et FComp12

D'où l'ensemble de définition de f :FComp6
x € D(u) : pas de problème puisque D(u) est IR

FComp14 Donc  FComp15

 

 

A présent, on sait décomposer une fonction et surtout, trouver son ensemble de définition. Le prochain article traitera des méthodes pour étudier les variations de ces fonctions composées.

 

 

 

 

 

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4 octobre 2010 1 04 /10 /octobre /2010 19:05

 

Jusqu'à présent vous saviez résoudre des équations du 1er degré, et quelques unes du 2d degré, mais pas toutes. Avec ce cours, vous comblez cette lacune et toutes les équations du second degré pourront être résolues.Vous pourrez même résoudre certaines équations du 3iè ou 4iè degré.

 

Que faut-il savoir et savoir faire?

- connaître les formules pour résoudre une équation du 2d degré ( delta, nombre de racines)
- savoir factoriser un polynôme,
- connaître les tableaux de signe des polynômes du second degré,
- savoir faire une identification membre à membre,
- connaître les astuces et méthodes pour résoudre une équation du 3iè et du 4iè degré,
- utiliser les notions précédentes pour résoudre des équations et inéquations.

 

Méthode pour résoudre une équation du 2d degré du genre ax2+bx+c = 0

Pour trouver les racines du polynôme ( racines = les valeurs de x pour lesquelles le polynôme vaut 0) Il suffit de connaître les formules du cours : calculer le delta et suivant son signe , en déduire les solutions lorsqu'elles existent.

Pour factoriser  ax2+bx+c = 0 : ce n'est possible que s'il a une ou 2 racines
S'il en a une seule, soit x0, alors ax2+bx+c = a ( x-x0 )2
S'il en a 2, soit x1 et x2, alors ax2+bx+c = a ( x-x1 )( x-x2 )         Attention à ne pas oublier le "a" !

 

Exemple : PolynomesA1
Résolvons p(x) = 0  :   PolynomesA2

PolynomesA3             PolynomesA4

PolynomesA5   d'où la factorisation: PolynomesA6 

 

Méthode pour résoudre et factoriser une équation du 3iè degré

Exercice type : On veut trouver les racines d'un polynôme de degré 3. Mais il n'y a pas de méthode dans le cours. Ce sont donc les questions de l'exercice qui vont vous amener à les trouver.

Soit p(x) = Ax3+ Bx2 + Cx + D

1) Trouver une racine évidente x0 : Il s'agit là de trouver une valeur facile de x qui fait que le polynôme vaut 0. On teste donc 1, 2, 3 ou -1, -2, -3. Obligatoirement une de ces valeurs est une racine.

1BIS) Montrer que 2 est une racine : là on vous donne une valeur, il faut vérifier qu'elle est bien racine du polynôme : on calcule p(2) et on montre que cela fait 0.

2) Factoriser p(x): On sait que x0 est une racine. D'après le cours, cela veut dire qu'on peut factoriser p(x) par (x-x0), donc que p(x) =   (x-x0) Q(x), avec Q(x) un polynôme de degré 2 ( (x-x0) est de degré 1 et p(x) est de degré 3 donc Q(x) est de degré 3-1 = 2).  Q(x) s'écrit ax2+bx+c, et on a alors p(x) =  (x-x0) (ax2+bx+c).

Pour factoriser p(x) totalement, il faut connaitre a,b et c et trouver les racines de ax2+bx+c:
Méthode pour trouver a, b et c : on développe (x-x0) (ax2+bx+c) = ax3+ bx2 + cx - ax0x2- bx0x - cx0
On réduit (rassembler les puissances de x) : (x-x0)(ax2+bx+c) = ax3+ (b- ax0)x2 + (c - bx0)x - cx0
On identifie membre à membre : Ax3+ Bx2 + Cx + D = ax3+ (b- ax0)x2 + (c - bx0)x - cx0
Comme on connaît A, B, C et D, on résout : A = a ; B = b- ax0   ; C = c - bx0 et D = cx0
On obtient ax2+bx+c. On résout ax2+bx+c=0 pour trouver les racines, et finir de factoriser p(x).

 

Exemple : On veut résoudre p(x) = 0 avec PolynomesA7
- Je cherche la racine évidente : j'essaie 1, ça marche : PolynomesA8
- Je peux donc factoriser p(x) par (x-1): PolynomesA9
- Je développe et réduis l'expression :
PolynomesA10
- J'identifie membre à membre avec le polynôme de départ:
PolynomesA11

- je trouve a, b et c :
PolynomesA12
- Je peux donc écrire: PolynomesA13
- Je cherche les racines du 2iè facteur qui est un trinôme du second degré:
PolynomesA14
Δ est positif, il y a donc 2 racines (méthode vue précédemment), on trouve x = -2 et x = 3.
Les 3 racines du polynôme sont donc 1, -2 et ,

- On peut factoriser p(x) totalement : PolynomesA15

 

Méthode pour résoudre et factoriser une équation du 4iè degré

Les seules équations du 4ie degré que vous pouvez résoudre sont celles que vous pouvez ramener à une équation du 2d degré par changement de variable.

Exemple    : PolynomesB1
On effectue le changement de variable : PolynomesB2   donc
PolynomesB6
Je cherche les racines de ce trinôme:
PolynomesB3
Or PolynomesB4  d'où:
                               PolynomesB5

Donc les solutions sont  S = {-2, -1, 1, 2 }


Attention, si un des X est négatif, alors on ne peut pas poser  PolynomesB4
Il n'y aura donc que 2 racines au polynôme.

 

Pour une équation du genre  PolynomesB7, on posera  PolynomesB8

 

 

Pour un entraînement efficace, pour vérifier que vous avez compris le chapitre et pour vous préparer au prochain contrôle, faites appel à mes services de cours par correspondance... Renseignez-vous    ICI.

 

 

 

 


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2 avril 2010 5 02 /04 /avril /2010 20:17

Après avoir abordé les dérivées et leur utilité, on va tenter de comprendre les petits à côtés théoriques du programme.

  • La tangente :

Lorsqu'on possède l'expression de f, on peut trouver l'équation de la tangente à la courbe en n'importe quel point d'abcisse a.
l'équation est : y = f'(a)(x-a) + f(a)
On calcule  f(a), f'(a), on remplace dans l'expression, et on obtient l'équation d'une droite ( donc une équation affine)

Remarque utile : si on développe l'expression de la tangente :
y = f'(a)(x-a) + f(a)
   = f'(a)x - f'(a)a + f(a)
   =  m  x    +   p   (équation affine)
avec m = f'(a), m étant le coefficient directeur de la droite, on peut donc conclure que f'(a) est le coefficient directeur de la tangente en x=a.

  • Le nombre dérivé:

Concrêtement, le nombre dérivé de f en a est f'(a) ( c'est à dire la valeur de la dérivée pour x=a)

  • Le taux de variation:

Une fonction n'est pas toujours dérivable. Elle peut ne pas l'être en certaines valeurs de x.
Pour montrer qu'une fonction f est dérivable ou non en une valeur spécifique a, il faut d'abord calculer le taux de variation de f, T(h), en a :
On écrit donc : T(h) = [f(a+h) - f(a)] /h    =..................
Ce sera une expression contenant des h, qu'on simplifie au maximum.

Ensuite il faut calculer la limite de T(h) quand h tend vers 0. Sauf que pour le moment, vous ne savez pas ce qu'est une limite. Alors tout simplement, on va remplacer h par 0.

- Si T(h) a une valeur quand h=0, alors la fonction est dérivable en a.
- Si c'est une expression où l'on ne peut pas remplacer h par 0 ( c'est à dire qu'il y a h au dénominateur), alors la fonction n'est pas dérivable en a.

  • L'approximation affine :

L'approximation affine sert à connaître approximativement la valeur d'une fonction "compliquée" par des calculs simples.   On va donc chercher par exemple f(1,98), f(0,01), pour n'importe quelle fonction.

Formule :    f(a+h) = hf'(a) + f(a)

Si je souhaite calculer, sans machine à calculer, f(1,02), connaissant f, bien sur.
On note a = 1, h = 0,02  ( donc a+h = 1,02)
On trouve f'(x), puis on calcule f'(1) et f(1)
On remplace dans la formule :
f(1,02) = 0,02 x f'(1) + f(1) = ..............

Voila, c'est tout en fait... pour le moment ça ne vous sert pas à grand chose, ce sera utile à ceux qui feront des sciences après le bac. Les autres... ben apprenez, sachez appliquer la formule, juste pour réussir votre contrôle, ce sera déjà ça.

 

Ensuite, vous n'en n'entendrez plus parler ! OUF !!





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8 mars 2010 1 08 /03 /mars /2010 20:35

Nouveauté totale cette année, les suites numériques.

Vous avez tous déjà croisé les énigmes du TéléZ de la semaine, où l'on vous demande de compléter une suite de nombres.. et bien, la plupart du temps, il s'agit de suites numériques.

Qu'est ce que c'est?
C'est une suite de nombres, tous liés au précédent ou au suivant par la même opération.

A quoi ça sert?
Beaucoup de choses dans notre vie peuvent être calculées par les suites numériques.
Par exemple, les intérêts que l'on touche grâce à un placement à la banque, combien aura-t'on gagné au bout de 2 ans, 10 ans, 30 ans... Ou bien ... le nombre de bébés lapins que peut procréer un couple de lapins en quelques mois !! Celle-ci s'appelle la suite de Fibonacci !

Ce qu'il faut en savoir et savoir faire :
Pour être au point sur ce chapitre, voila tout ce qu'il faut savoir et savoir faire :
- Différencier les suites du genre Un=f(n) et Un+1=f(Un),
- Etudier la monotonie de Un,
- Calculer les premiers termes d'une suite,
- Trouver graphiquement les premiers termes d'une suite,
- Trouver si une suite est une suite arithmétique ou une suite géométrique, ou pas,

- Savoir passer d'une écriture de récurrence ( Un+1=f(Un)) à une écriture explicite (Un=f(n) ),
- Savoir calculer la somme d'une suite arithmétique, la somme d'une suite géométrique,
- Trouver le rang n tel que la somme d'une suite arithmétique soit égale à une certaine valeur.


Comment le faire?

- La monotonie de Un:

  • Ecrire Un+1-Un et étudier son signe,
  • Ou, si tous les termes Un sont positifs, écrire Un+1/Un et comparer à 1,
  • Ou, si Un=f(n), étudier les variations de f sur IN

- Trouver si une suite est une suite arithmétique ou une suite géométrique, ou pas:

Pour montrer qu'une suite est arithmétique, j'écris Un+1-Un. Si c'est un chiffre, c'est une SA et ce chiffre en est la raison. S'il reste des "n", ce n'est pas une SA.

Pour montrer qu'une suite est géométrique, j'écris Un+1/Un. Si c'est un chiffre, c'est une SG et ce chiffre en est la raison. S'il reste des "n", ce n'est pas une SG.

Pour montrer qu'une suite N'EST PAS arithmétique : je calcule U1 -U0 et U2 -U1 et je montre que ces 2 valeurs sont différentes.

Pour montrer qu'une suite N'EST PAS géométrique: je calcule U1 / U0 et U2 / U1 et je montre que ces 2 valeurs sont différentes.

 

Les pièges à éviter
- Bien différencier l'écriture de récurrence ( un terme Un+1 en fonction du précédent Un ) et l'écriture explicite ( un terme Un en fonction du rang n),
- Faire attention aux formules dans les suites arithmétiques et géométriques: Exemple : Un = U0 + nr   : ici, n est en fait "n-0".  Donc si la suite commence au rang p, la formule sera Un = Up + (n-p)r
- n est dans IN, donc il est positif , ce qui est très utile pour les études de signe,
- Attention, de 0 à 10 , il y a 11 termes !

L'exercice type
Un des exercices type consiste à vous donner 2 suites différentes, liées l'une à l'autre.
-Une suite Un+1 =f(Un ), ni arithmétique, ni géométrique
-Une suite Vn =g(Un ).
On vous demande de démontrer que Vn est géométrique en trouvant sa raison, puis d'écrire Vn en fonction de n ( faisable car géométrique et raison connue).
Puis on vous demande d'écrire Un en fonction de n ( faisable puisqu'on a Vn  en fonction de Un , on peut donc en déduire Un en fonction de Vn , et donc en fonction de n)


Exemple :
SuitesPremiere1a  

Je calcule Vn+1 / Vn et je montre que c'est un réel fixé (un chiffre):

SuitesPremiere1b-copie-1

2 est un réel fixé, Vn est donc une suite géométrique, et sa raison est 2.

SuitesPremiere2

Vn etant une suite géométrique, son expression en fonction de n est :

SuitesPremiere3 car     SuitesPremiere4

Comme on a Vn en fonction de Un, on peut en déduire Un en fonction de Vn et donc de n:

SuitesPremiere5

 

Pourquoi devez-vous porter une attention particulière à ce chapitre?
Parce que l'an prochain, en terminale, il sera présent tout au long  de l'année en maths :
- Vous apprendrez les complexes.. et les suites de complexes,
- Vous apprendrez les proba.... et les suites de proba,
- Vous apprendrez les intégrales... et les suites d'intégrales, voire..les intégrales de suites,
- Vous étudiez la géométrie dans l'espace... et on y mettra des suites, là aussi...!

Voila, vous avez le schéma de révision, à vous de jouer !!

 

 

Pour un entraînement efficace, pour vérifier que vous avez compris le chapitre et pour vous préparer au prochain contrôle, faites appel à mes services de cours par correspondance... Renseignez-vous    ICI.



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21 février 2010 7 21 /02 /février /2010 20:38

Le produit scalaire, vous l'avez peut-être déjà vu en physique dans le chapitre des forces, mais très rapidement, juste en tant qu'"outil" pour calculer le travail d'une force (appelez-vous, les maths ne sont souvent qu'un outil pour la physique!)

Cette fois, un chapitre entier lui est consacré.

Ce qu'il faut savoir :
- Les différentes formules pour calculer le produit scalaire de 2 vecteurs ( avec et sans les coordonnées, avec projeté orthogonal),
- Les formules de la médiane,
- Les formules d'Al Kashi,
- Les propriétés du produit scalaire,
- L'équation d'un cercle.

Ce qu'il faut savoir faire:
- Calculer un PS connaissant les normes des vecteurs, l'angle entre les vecteurs,
- Calculer un PS connaissant les coordonnées des vecteurs,
- Savoir retrouver une norme ou un angle grâce à Al Kashi,
- Savoir retrouver une équation de cercle,
- Savoir trouver des ensembles de points:
      - de manière analytique (avec utilisation des équations de droites et de cercle),
      - de maniyère géométrique (avec utilisation des formules de la médiane et des projeté orthogonaux).

Si vous savez faire un exercice concernant chacune de ces notions, alors le chapitre est acquis.

 

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