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29 novembre 2013 5 29 /11 /novembre /2013 15:47

Si l'élaboration d'un tableau de signes n'est pas le truc le plus compliqué à faire, il n'empêche que, non maîtrisé, il peut vous provoquer bien des soucis. C'est un outil indispensable en maths de la 3ie à la terminale.

 

Revenons donc un peu dessus, du début, à la fin, de façon détaillée.

 

A quoi ça sert ?

 

A connaître le signe d'une expression en x, selon les valeurs de x. C'est donc utile pour

- résoudre des inéquations

- étudier les variations d'une fonction à travers le signe de sa dérivée.

 

Comment fait-on?

 

Le but étant de trouver le signe de l'expression A en fonction des valeurs de x, il faut donc déjà trouver les valeurs de x pour lesquelles A vaut 0, c'est à dire à quel moment A va passer de positive à négative.( c'est la valeur 0 qui separe les valeurs positives des valeurs negatives)

 

Pour trouver ces valeurs, il fait donc résoudre A = 0.

 

Résoudre A = 0

 

Cette résolution doit être faite méthodiquement. Il s'agit déjà de constater la forme de A pour savoir comment procéder.

 

  • Si A est affine

Par exemple A = 5x + 10

Résoudre A = 0

\Leftrightarrow 5x + 10 = 0

\Leftrightarrow 5x = - 10

\Leftrightarrow x = - 2

A  vaut 0 pour x = -2

 

D'où un tableau du genre  :

                 tableau-affine.png

  • Si A est du second degré

Par exemple A = x² + 2x - 3

Résoudre A = 0

→ Utilisation du cours pour trouver les racines d'un polynôme du second degré. Calcul de Delta, on obtient alors 2 racines, x1 = -3 et x2 = 1.
D'où un tableau du genre  : ( en n'oubliant pas la règle : signe de a ( ici a=1 donc a positif) à l'extérieur des racines, signe de -a à l'intérieur. )

                  tableau-second-degre.png

 

  • Si A est une fraction qui n'a du x que en bas ou en haut

Si c'est en haut, alors le dénominateur est une simple valeur fixée, dont il faut juste prendre en compte son signe, et résoudre "numérateur = 0 ".

 

A = (5x + 10) / 3

On procède comme pour A affine ( on résoud 5x + 10 = 0 ) , et on note que le dénominateur est positif, donc ne change rien au tableau de signe du numérateur. Le signe de A est donc le signe de 5x + 10

 

INTERMEDE : TOUT LE MONDE SE RAPPELLE DE LA REGLE DES SIGNES?

 

Rappel : elle ne fonctionne QUE pour les multiplications et les divisions.

+ par + fait  +

+ par - fait -

-  par - fait +

 

Donc si un morceau d'une multiplication ou d'une division est positif, il n'a aucune influence sur le signe de l'expression complete. Ici le numérateur est positif, le signe de 3 n'influence donc en rien le signe de A, qui ne depend donc que du signe du numerateur.

 

FIN DE L'INTERMEDE

 

Si c'est en bas, on procede comme precedemment. La difference sera sur le fait qu'en la valeur de x ou le denominateur vaut 0, alors cette valeur sera dire "interdite".


A = 3 / (5x + 10)

3 est positif, son signe n'a pas d'influence.

on resoud 5x + 10 = 0; donc x = - 2

 

On se retrouve avec le meme tableau que précédemment, sauf qu'en -2 on met une double barre verticale , et pas de 0, pour indiquer que cette valeur est interdite.

Image-6.png

 

 

  • Si A est une fraction rationnelle (qui a du x en bas et en haut)

 a suivre...

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Published by Joséphine - dans Maths Seconde
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6 septembre 2013 5 06 /09 /septembre /2013 17:20

On commence l'année, en Seconde, avec le calcul algébrique ou les fonctions.

 

Les techniques de calcul ( fractions, puissances, racines carrées), et de calcul algérique ( calcul littéral, developpement, factorisation...) sont absolument nécessaires pour la suite.

Autant que savoir que 2 et 3 font 5 l'etait pour entrer en CE2.

 

Ces méthodes ont été apprises au collège, elles faisaient partie des compétences exigibles au brevet. Néanmoins, les vacances sont passées par là, les rappels sont donc nécessaires, afin d'augmenter le niveau de difficulté attendu pour la Seconde.

 

Ce qu'un élève de Seconde doit savoir faire:


En calcul pur ( que des nombres et des chiffres):

  • Les fractions :

les additionner et les soustraire ( avec mise sous le meme denominateur )

les multiplier ( produit des numérateurs divisé par produit des dénominateurs)

les diviser ( diviser par une fraction a/b c'est multiplier par son inverse (b/a)

 

  • Les puissances:

les différentes formules pour regrouper des puissances et rendre les calculs plus simples,

les puissances d'un nombre (5 puissance 2 : 5² qui signifie 5 x 5),

les puissances de 10 (5 fois 10 puissance 2 : 5 x 10² qui vaut 500),

les cas particuliers ( 50=1 )

 

  • les radicaux ( racines carrées)

 

( a suivre... )

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Published by Joséphine - dans Maths Seconde
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4 novembre 2010 4 04 /11 /novembre /2010 10:50

Après avoir appris à décomposer une fonction et à en trouver son ensemble de définition dans l'article précédent, on peut à présent en étudier les variations. Le plus souvent, l'énoncé de l'exercice vous donne les intervalles où vous devez travailler.

 

Que dit le cours ?

  • Si 2 fonctions ont mêmes variations, alors la composée des 2 fonctions est croissante.
  • Si 2 fonctions ont des variations contraires, alors la composée des 2 fonctions est décroissante.

Mais il faut faire attention à l'intervalle sur lequel on étudie les variations de chacune:
Si on cherche les variations de f = u o v sur I: On étudie les variations de v(x) pour x € I, et les variations de u(x) pour x € ........à v(I) .
Qu'est-ce que v(I) ?  C'est l'intervalle "image" de I par v. Car, d'après le schéma de décomposition, v prend ses valeurs dans I, mais u prend ses valeurs dans v(I).
VarCompFonctions8

 

Exemple 1, simple : VarCompFonctions1 - copie
Question : Etudier les variations de f(x) sur  ] - ∞ , 4 [

- On commence par décomposer f :
VarCompFonctions3 - copie
- Variations de u(x) sur ] - ∞ , 4 [  : u(x) est une fonction affine dont le coefficient directeur est positif, donc u(x) est croissante sur IR, donc sur ] - ∞ , 4 [.

- Cherchons l'intervalle décrit par u(x) lorsque x € ] - ∞ , 4 [:
VarCompFonctions5 - copie

- Variations de v(x) : c'est la fonction carré : elle fait partie des fonctions usuelles qui sont détaillées dans le cours, donc on est sensé connaître ses variations : sur ] - ∞ , 0 [, v(x) est décroissante.

- Conclusion : Sur ]- ∞ , 4[, f est la composée d'une fonction croissante (u) et d'une fonction décroissante (v), donc f est décroissante.

 

Exemple 2, avec la fonction inverse:  VarCompFonctions6

Question : Etudier les variations de f(x) sur  ] - ∞ , 5 [

 - On commence par décomposer f :
VarCompFonctions16 2
VarCompFonctions14
- Variations de u(x) sur ] - ∞ , 5 [  : u(x) est une fonction affine dont le coefficient directeur est positif, donc u(x) est croissante sur IR, donc sur ] - ∞ , 5 [.

- Cherchons l'intervalle décrit par u(x) lorsque x € ] - ∞ , 5 [:
VarCompFonctions7

- Variations de v(x) : c'est la fonction inverse : elle fait partie des fonctions usuelles qui sont détaillées dans le cours, donc on est sensé connaître ses variations : sur ] - ∞ , 0 [, v(x) est décroissante.

- Conclusion : Sur ]- ∞ , 5[, f est la composée d'une fonction croissante (u) et d'une fonction décroissante (v), donc f est décroissante.

 

Exemple 3, avec 3 fonctions:  VarCompFonctions10  

Question : Etudier les variations de f(x) sur  ] - ∞ , 0 [

 - On commence par décomposer f :
VarCompFonctions11
VarCompFonctions12
- Variations de u(x) sur ] - ∞ , 0 [  : u(x) est la fonction carré donc u(x) est décroissante sur ] - ∞ , 0 [.

- Cherchons l'intervalle décrit par u(x) lorsque x € ] - ∞ , 0 [:
VarCompFonctions13

 

- Variations de v(x) : c'est une fonction affine de coef directeur positif : elle est croissante sur IR donc sur  ]0, + ∞[
- Variations de w(x)
: c'est la fonction racine carrée, elle est croissante sur ]0, + ∞[

- Conclusion : Sur ]- ∞ , 0[, f est la composée d'une fonction décroissante (u) et de 2 fonctions croissante (v et w), donc f est décroissante.

 

 

 

 

 

En compilant cet article et le précédent, vous savez répondre à toutes les questions concernant les variations de fonctions composées !

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Published by Joséphine - dans Maths Seconde
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20 octobre 2010 3 20 /10 /octobre /2010 10:10

Les fonctions représentent, de manière mathématique, les phénomènes physiques qui nous entourent : circulation de l'air, de l'eau, temperature, fonctionnement d'une automobile, lancer d'une fusée, risques financiers etc.

Le but est donc de savoir comment varie par exemple la consommation d'essence en fonction du nombre de kilomètres parcourrus, ou en fonction du poids des bagages. Alors pour savoir si justement, cela augmente, ou cela diminue, ou les 2 suivant les valeurs du paramètre (ici le poids des bagages)  choisi, on étudie les variations de la fonction:  f(poids des bagages)=consommation d'essence, ou plutot, f(x)=y.

 

Comment ça fonctionne?

Si, lorsque la variable augmente, alors la fonction augmente, OU SI , lorsque la variable diminue, alors la fonction diminue, on dit que la fonction est croissante.
Par exemple, la consommation d'essence augmente lorsque le poids des bagages augmente, et elle diminue lorsque le poids des bagages diminue.

Si, lorsque la variable augmente, la fonction diminue, OU SI lorsque la variable diminue, la fonction augmente, on dit que la fonction est décroissante.
Par exemple le nombre de radiateurs allumés en fonction de la température extérieure: Plus il fait chaud, moins il y a de radiateurs allumés et moins il fait chaud, plus il y a de radiateurs allumés.

 

Le cours dit :

  • si a < b et f(a) < f(b) OU si a > b et f(a) > f(b)   alors f est croissante
  • si a < b et f(a) > f(b) OU si a > b et f(a) < f(b)   alors f est décroissante

graphcr-copie-1.jpg  graphdecr.jpg

 

 

 

 

 

 

 

             
                fonction croissante                                                            fonction décroissante

 

Méthodes:

En seconde, il n'y a pas 36 méthodes pour étudier les variations d'une fonction. Vous ne pouvez d'ailleurs pas étudier les variations de toutes les fonctions, car la méthode apprise cette année ne le permet pas. Mais il faut toujours un début !  De manière général, il s'agit de manipuler des inégalités.

On prend 2 antécédents (donc des x) dans un certain ordre, a et b avec a<b par exemple. Et on "habille" a et b de façon à obtenir f(a) et f(b) et à les comparer (savoir lequel est le plus grand ou lequel est le plus petit).

Exemple 1 : Trouver les variations de f(x) = 4x - 6 sur IR
Soit a, b 2 réels avec a<b. Alors:
4a < 4b (multiplication par un réel positif, je ne change pas le signe de l'inégalité)
4a - 6 < 4b - 6 ( j'enlève 6 à droite et à gauche, cela ne change rien)
donc f(a) < f(b) :  La fonction est croissante car a<b implique f(a) < f(b)

Exemple 2 : Trouver les variations de f(x) = -5x + 8 sur IR
Soit a, b 2 réels avec a<b. Alors:
-5a > -5b ( multiplication par un réel négatif, je change le signe de l'inégalité)
-5a + 8 > -5b + 8  ( je rajoute 8 à droite et à gauche, cela ne change rien)
donc f(a) > f(b): La fonction est décroissante car a<b implique f(a) > f(b)

 

Le tableau de variations

Les résultats des variations peuvent être récapitulés dans un tableau de variations. Dans certains exos, on vous demande de le créer à partir d'un graphique, mais on peut aussi vous le donner et vous demander de l'interpréter.

Exo Type 1 : Tracer le tableau de variations de cette fonction :

fonctionquelconque.png

On récapitule les indications données par ce graphique : le domaine de définition est ]-2, 4[. Il y a 3 extremum locaux, (les points où la courbe change de variation) : en -1, il vaut 3, en 1 il vaut -5, en 3 il vaut 3. D'où le tableau suivant :

tableauvar1.jpg

Exo Type 2 : Interpréter le tableau de variations précédent :
Ici, vous devez indiquer sur quels intervalles la fonction est croissante et/ou décroissante, ainsi que le lieu et la valeur des extremum locaux ( lieu = en quel x / valeur = en quel y). On répond donc:
- f(x) est croissante sur ]-2, -1[U]1, 3[   et f(x) est décroissante sur ]-1, 1[U]3, 4[   (on lit les intervalles de x où f est croissante puis décroissante)
- f(x) possède 3 extremum locaux : en -1, il vaut 3, en 1 il vaut -5 et en 3 il vaut 3.
- Le minimum de f(x) vaut -10, il est atteint en -2 et 4. Le maximum de f vaut 3, il est atteint en -1 et 3.

 

Astuces et conseils

Comment savoir à quel moment je parle de x, à quel moment je parle de y : Dès qu'on dit "en ....", alors il s'agit d'un x. Mais si vous parlez de la valeur d'un extremum local, d'un changement de variation ou de la valeur d'un maximum et d'un minimum, alors il s'agit de f, donc de y. Les x se lisent sur la première ligne du tableau de variations, les y ( c'est à dire les f(x) ) se lisent sur la 2ième ligne, là où il y a les flèches.

Comment résoudre graphgiquement une équation ou une inéquation : il faut aller lire l'autre chapitre .

Que veut dire "comparer" ? comparer A et B signifie chercher quel est le plus grand et quel est le plus petit, donc mettre >  ou < entre A et B.

Un extremum est-il obligatoirement un maximum ou un minimum? NON. Un extremum est un endroit où la courbe change de variation. Ce n'est pas obligatoirement un max ou un min.

 

 

Pour un entraînement efficace sur d'autres démonstrations par récurrence, pour vérifier que vous avez compris le chapitre et pour vous préparer au prochain contrôle, faites appel à mes services de cours par correspondance... Renseignez-vous    ICI.

 

 

 


 

 

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15 octobre 2010 5 15 /10 /octobre /2010 06:09

C'est quoi une fonction?

C'est un outil, un outil mathématiques. En mécanique ya les tournevis qui transforment des pièces détachées en moteur par exemple, en couture ya les aiguilles, qui transforment du tissu en vetements, et bien en maths, ya les fonctions. C'est un outil qui permet de transformer un chiffre en un autre.

Par exemple, la fonction " rajouter 2": Elle transforme 1 en 3 (car 1+2=3), 13 en 15 (car 13+2=15) , 759 en 761 (car 759+2=761). Celle-ci est simple, mais jusqu'en Terminale, vous en verrez de toutes sortes, bien plus compliquées.

Et ça ressemble à quoi?

Il y a une infinité de fonctions différentes. On les nomme f, et on appelle "x" le chiffre qui va subir la transformation, c'est l'antécédent. Du coup, x va être transformé par f, et le résultat sera noté "y", c'est l'image.  On note y = f(x) ( qui se dit "f de x" ). Des exemples de f(x):

fonctionsexemples.jpg
Ces fonctions peuvent être "dessinées", on dit qu'on peut les représenter graphiquement.

Et qu'est-ce qu'on va en faire, des fonctions?

On va jouer avec, les tordre dans tous les sens, les utiliser pour trouver x quand on connait y, ou pour trouver y quand on connait x, soit par le calcul, soit grâce à la représentation graphique.

 

Les Méthodes Calculatoires :

 

  • Le plus simple : Calculer f(k) OU calculer l'image de k par f

Méthode : on remplace x par la valeur donnée (k)  et on calcule f(k).

Exemple : f(x) = 3x - 7
calculer f(x) pour x = 2 OU Quelle est l'image de 2 par f :
f(2) = 3 x 2 - 7 = 6 - 7 = -1
Donc : f(2) = -1 OU l'image de 2 par f est -1

 

  • Donner les coordonnées du point d'intersection de la courbe avec l'axe des ordonnées

Il faut savoir comment on définit l'axe des ordonnées: c'est l'axe vertical du repère. Quel est le point commun à tous les points qui sont sur cet axe? leur abcisse (x) vaut 0. C'est donc la droite d'équation x=0. Donc cela revient à la méthode juste précédente, avec k=0. On trouve alors la valeur du y correspondant, on va l'appeler j, et les coordonnées du point sont (0,j).

 

  • Résoudre f(x) = k OU calculer l'antécédent de k

Méthode : Ecrire l'égalité avec les x et résoudre pour trouver x.
Exemple : Résoudre f(x) = 5 OU quel est l'antécédent de 5 ?
3x - 7 = 5 ↔ 3x = 5 + 7  ↔ x = 12/3 = 4
Donc : la solution à l'équation f(x) = 5 est 4 OU l'antécédent de 5 par f est 4. 

 

  • Donner les coordonnées du point d'intersection de la courbe avec l'axe des abcisses

Il faut savoir comment on définit l'axe des abcisses : c'est l'axe horizontal du repère. Quel est le point commun à tous les points qui sont sur cet axe? leur ordonnée (y) vaut 0. C'est donc la droite d'équation y=0. Donc cela revient à la méthode juste précédente, avec k=0. On trouve alors la valeur du x correspondant, on va l'appeler j, et les coordonnées du point sont (j, 0).

A retenir : s'il est demandé de trouver une image, alors le chiffre qui est donné dans la question est l'antécédent, c'est à dire x. S'il est demandé de trouver un antécédent, alors le chiffre qui est donné dans la question est l'image, c'est à dire y.

 

Les Méthodes Graphiques :

 

graph1a

 

  • Trouver y à partir de x, ce qui se dit "trouver l'image de x" ou bien " trouver f(x)"

On trace une droite verticale d'abcisse x, et on lit la valeur du y lorsque cette droite coupe la courbe. Exemple donné : Trouver l'image de 4 : ici on lit y = -3.


  • Trouver x à partir de y, ce qui se dit "trouver l'antécédent de y" ou bien " trouver la solution à l'équation y = f(x)" ou encore "Résoudre graphiquement f(x)=k"

On trace la droite horizontale d'équation y=k, et on lit la valeur du x lorsque cette droite coupe la courbe.  Exemple donné : Trouver les antécédents de 3 : ici on lit x=-3,3 et x=7,3.


  • Résoudre graphiquement f(x)> k (k est un chiffre que l'on vous donne dans l'énoncé)

On trace la droite horizontale d'équation y=k, et les solutions sont les intervalles de x ( à lire sur les abcisses) où la courbe est au-dessus de la droite. Exemple donné : Résoudre f(x)>3 : ici on lit x € ]- , -3,3[U]7,3,+[  .


  • Résoudre graphiquement f(x)< k (k est un chiffre que l'on vous donne dans l'énoncé)

On trace la droite horizontale d'équation y=k, et les solutions sont les intervalles de x (à lire sur les abcisses) où la courbe est en dessous de la droite.  Exemple donné : Résoudre f(x)<3 : ici on lit x € ]  -3,3  ,  7,3 [

 


 

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7 mai 2010 5 07 /05 /mai /2010 09:05

 

Les fonctions affines sont les premières fonctions étudiées, dès la 3ième.Cependant, une large révision est effectuée en Seconde, et leur utilisation reste d'actualité jusqu'au Bac. 

Une fonction affine s'écrit y = ax + b ( ou y = mx + p , suivant les profs...)
C'est donc un outil qui transforme une valeur "x" en une valeur "y".
Les valeurs de a et b sont fixes, elles définissent la fonction. Par exemple la fonction affine y = 2x - 1 (a = 2, b = - 1) n'est pas la même fonction que y = - 5x + 8 (a = - 5, b = 8).

Sur un graphique, les points M(x,y) tels que y = ax + b sont représentés par une droite. On appelle alors
- a le coefficient directeur ( c'est la valeur qui donne la direction de la droite, sa pente)

- b l'ordonnée à l'origine ( c'est à dire la valeur de l'ordonnée (y) à l'origine des x (pour x=0). Graphiquement c'est le point d'intersection de la droite et de l'axe des ordonnées.

 

affine1-copie-1.jpg

On a représenté la fonction affine y = 2x - 3

 

La pente vaut 2, cela veut dire que lorsqu'on se déplace de 1x dans le sens positif ( vers la droite), on se déplace aussi de 2y dans le sens positif (vers le haut).

 

 

 

 

 

 
Les différentes méthodes à connaître:


  • Retrouver l'équation d'une droite lorsqu'on a sa représentation graphique 

Méthode graphique ( acceptée dans les petites classes)

- On repère 2 points dont les coordonnées sont simples ( des entiers si possible). On calcule le "chemin" pour aller d'un point à l'autre verticalement et horizontalement. Le coefficient directeur est égal au quotient "vertical sur horizontal". 

affine3-copie-1.jpg

 

Exemples :

- Cherchons l'équation de (d1), qui passe par A et B:

Pour aller de A vers B, il y a 2 carreaux vers la droite et 3vers le haut. Donc le coefficient directeur vaut 3/2=1,5.

- Cherchons l'équation de (d2), qui passe par B et C:

Pour aller de B vers C, il y a 1 carreau vers la droite et6 vers le bas. Le coefficient directeur vaut -6/1 = -6.

 

    
Ensuite, la valeur de b, l'ordonnée à l'origine, est la valeur de l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées.

Dans notre exemple, pour (d1), b vaut -0,5.
D'où équation de (d1) : y = 1,5 x  - 0,5 

Méthode calculatoire ( plus appréciée..)

Formule du coefficient directeur : Soit A(xA,yA) et B(xB,yB) 2 points de la droite.
Alors a = ( yB - yA) / ( xB - xA)

Par exemple pour (d1) passant par A(1,1) et B(3,4),        a = (4-1)/(3-1) = 3/2

Pour trouver b, l'ordonnée à l'origine:

yA = axA + b ( ça marche aussi avec B, ainsi qu'avec tout point appartenant à cette droite)
alors b = yA - axA

Pour (d1) :  b = 1- 3/2 x 1 = -0,5
D'où   y = 1,5 x - 0,5 

Important : une fois que vous avez calculé a et b, n'oubliez pas de répondre à la question, à savoir donner l'équation de la droite . Bon nombre d'élèves oublient l'étape finale et n'obtiennent pas tous les points à la question... 

 

  • Montrer qu'un point appartient ou non à une droite

Les points M, situés sur la droite sont les points dont les coordonnées (xM,yM) sont liées par la formule yM  = axM + b.
Donc si les coordonnées d'un point vérifient cette relation, le point apartient à la droite.Sinon, il n'appartient pas à la droite.

Exemple : Soit la droite d'équation  y = 1,5 x - 0,5. Le point J ( 4, -1) est-il sur la droite?
Je dois donc regarder si yJ  = 1,5 xJ - 0,5
Je calcule 1,5 xJ - 0,5 = 1,5 x 4 - 0,5 = 4
Or yJ  = -1
4 ≠ -1, donc J n'appartient pas à la droite.
 

 

  • Montrer qu'une fonction est affine

 

Méthode 1 : Avec les vecteurs

Le but est de savoir si la représentation sur le graphique est une droite ou non. Pour cela, on choisit 3 points de la courbe et on va chercher s'ils sont alignés ou non.
Et pour montrer que 3 points sont alignés, on montre que 2 vecteurs formés par ces 3 points sont colinéaires.

-On choisit 3 points sur la courbe dont on calcule les coordonnées ( on choisit x1, on calcul y1=f(x1), pareil pour (x2 , y2 )  et (x3 , y3 ) ).
-On calcule les coordonnées de 2 vecteurs formés par ces 3 points.
-Puis on démontre que ces vecteurs sont colinéaires ou non colinéaires.

Exemple: f(x) = 3x2 + 2
si x1 = 0, y1=f(x1)=2    =>  A (0,2)
si x2 = 1, y2=f(x2)=5   =>  B (1,5)
si x3 = -2, y3=f(x3)=14   =>  C (-2,14)

Les points A, B et C sont-ils alignés? Cherchons à savoir si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
Calculons leurs coordonnées : AB ( 1, 3) et AC ( -2, 12)
En calculant le déterminant ( voir votre cours sur les vecteurs), on se rend compte que les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points ne sont pas alignés, donc ils ne forment pas une droite, et donc f(x) n'est pas une fonction affine!

 

Méthode 2 : Avec le taux d'accroissement

On commence de la même façon que précédemment, en calculant les coordonnées de 3 points appartenant à la courbe.
Puis on calcule l'accroissement entre A et B, et entre B et C.

  • S'il est identique, cela veut dire que les droites (AB) et (BC) ont même coefficient directeur, donc elles sont parallèles, et elles ont en plus un point en commun : C'est donc la même droite, les points sont alignés, la fonction est affine.
  • Sinon, les droites (AB) et (AC) n'ont pas le même coefficient directeur, donc les points ne sont pas alignés, ce n'est pas une même et unique droite, la fonction n'est pas affine.

Exemple:   f(x) = 3x2 + 2
si x1 = 0, y1=f(x1)=2    =>  A (0,2)
si x2 = 1, y2=f(x2)=5   =>  B (1,5)
si x3 = -2, y3=f(x3)=14   =>  C (-2,14)

Taux d'accroissement entre A et B : (y2 - y1) / (x2 - x1) = (5-3) / (1 - 0) = 2
Taux d'accroissement entre B et C :
(y3 - y2) / (x3 - x2) = (14-5) / (-2 - 1) = -3
2
-3 donc les points ne sont pas alignés, donc ce n'est pas une fonction affine. 

 

  •   Montrer que 2 droites sont parallèles ou sécantes


Cours : 2 droites sont parallèles si elles ont même coefficient directeur.


Donc: il suffit de calculer leurs coefficient directeurs respectifs et de vérifier s'ils sont égaux ou non.
S'ils sont égaux, les droites sont parallèles. Sinon , elles sont sécantes.

 

  • Trouver les coordonnées du point d'intersection de 2 droites

Il faut déjà être sûr qu'elles sont sécantes, donc utiliser le point méthode précédent.
Si elles sont sécantes, leur point d'intersection K est donc sur chacune des 2 droites : les coordonnées de K vérifient donc les équations de chaque fonction affine.
soit (d1) : y  = a1x + b1 et (d2) : y  = a2x + b2
K (xK,yK) est sur (d1) alors yK  = a xK  + b1.
K (xK,yK) est sur (d2) alors yK  = a xK  + b2.

On obtient a1 xK  + b1 = a2 xK  + b2 que l'on peut résoudre pour trouver xK , puis on calcule yK .

Exemple : (d1) : y  = 3x - 4  et (d2) : y  = 2x - 1
On résoud   3x - 4  = 2x - 1
donc xk = 3 et yk = 3xk - 4 = 5    donc le point d'intersection est K( 3, 5)

 

 

Pour un entraînement efficace, pour vérifier que vous avez compris le chapitre et pour vous préparer au prochain contrôle, faites appel à mes services de cours par correspondance... Renseignez-vous    ICI.

 

 

 


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Published by Joséphine - dans Maths Seconde
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4 mai 2010 2 04 /05 /mai /2010 19:12

Voici un thème important abordé en Seconde, et qui, mine de rien, ressortira les 2 années suivantes, de façon très régulière. Dans certains sujets de bac, ne pas "voir" que la fonction est paire ou impaire peut empêcher toute résolution de l'exercice posé.

 

Par définition:

 

Une fonction est paire sur un intervalle [a,b] si:

  • pour tout x € [a,b], -x € [a,b]
  • f(-x) = f(x)

Une fonction est impaire sur un intervalle [a,b] si:

  • pour tout x € [a,b], -x € [a,b]
  • f(-x) = -f(x)

Graphiquement:

la représentation d'une fonction paire est une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées,

la représentation d'une fonction impaire est une courbe symétrique par rapport à l'origine du repère.

 

paire.gif                                       impaire.gif

 

                       Fonction Paire                                                                        Fonction Impaire         

 

 

Ca, c'est le cours, la théorie.

 

Mais.. comme d'habitude, on va se poser les bonnes questions..

 

 

  A quoi ça sert ???

 

Lorsque vous étudiez une fonction ( ses variations, ou pour les 1ere et Terminales, ses limites, ses asymptotes etc), vous devez l'étudier sur son ensemble de définition.

Si Df est centré sur 0, et que vous montrez au départ que la fonction est paire ou impaire, alors vous pourrez  ne l'étudier que sur IR+ par exemple.

Ensuite, vous déduirez les variations de f sur IR- par symétrie axiale si f est paire, et par symétrie centrale si f est impaire.

 

Bref, ca diminue le travail....

 

Comment fait-on? Quelles questions va-t'on me poser?

 

On vous donne une fonction et son ensemble de définition.

 

  • Tout d'abord, il faut vérifier que si x€Df, alors -x€Df

 

Exemples :

  • Df = [-5, 5].

Si x €  [-5, 5], alors -x € [-5, 5]

  • Df = [-10, 5]

Si x €  [-10, 5], alors -x € [-5, 10], or [-5, 10] n'est pas inclu dans [-5, 5], donc -x n'appartient pas à Df

Conclusion, f ne peut déjà pas être paire, ni impaire.

 

  • Ensuite, si la question est " Etudier la parité de f"

Il faut écrire :

f(-x)  = ... et donner l'expression de f(-x) en fonction de x.

 

- Si les expressions de f(-x) et de f(x) sont identiques, alors f est paire.

- Si l'expression de f(-x) est identique à l'opposé de f(x) ( c'est à dire -f(x)), alors f est impaire

- Sinon, f n'est ni paire ni impaire.

 

  • Si la question est " Montrer que f est paire",

On écrit l'expression de f(-x), et on tente de retrouver l'expression de f(x)

 

  • Si la question est " Montrer que f est impaire",

On écrit l'expression de f(-x), et on tente de retrouver l'expression de -f(x)

 

 

Et c'est tout.... !!

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Published by drille - dans Maths Seconde
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13 mars 2010 6 13 /03 /mars /2010 13:25

La résolution des équations nécessite méthode rigoureuse et entraînement. Il n'y a pas de hasard dans le choix de la résolution, suivant le type d'équation, on choisit telle ou telle méthode, cela s'apprend.
En seconde, vous ne disposez pas encore de tous les outils pour tout résoudre. On se cantonne donc à ce qu'il est possible de faire à votre niveau.

De quels outils j'ai besoin:
- De la propriété de 3ième : Un produit de facteurs est nul si et seulement si un des 2 facteurs est nul:
equations1,
- de l'obligation d'avoir un dénominateur non nul dans une fraction, ce qui implique que si une fraction est nulle, son numérateur est nul,
- des méthodes de résolution des équations affines ( ax+b = 0),
- du cours sur les racines carrées.

Les équations types:

1) Affine : ax + b = 0 , n'en parlons pas....

2) Affine des 2 côtés du "=" : On met les x d'un côté, les unités de l'autre, on résoud.

equations2 

ATTENTION : Ne surtout jamais "simplifier" par x de chaque côté du "=".


A ne pas faire:
equations12

Ce qu'il faut faire : Rappatrier 3x à gauche du "=", factoriser par x et résoudre.

 


3) Avec un quotient (du "x" en bas, que d'un côté) On fait un produit en croix pour trouver x:

equations3

 

 

4) Avec un quotient (du "x" en bas, des 2 côtés)

- Exemple 1: equations4On fait un produit en croix pour se ramener à une équation en ligne:

equations5   ensuite on sait faire.

ATTENTION : Faire attention à l'ensemble de définition de l'équation : x≠0 et x≠ -3
Aucune de ces 2 valeurs ne peut donc être solution.

- Exemple 2:  equations13   On met au même dénominateur : equations14
On réduit : equations15  On résoud :   7x + 5 = 0 ...

 
ATTENTION : Faire attention à l'ensemble de définition de l'équation. (x-1)(x+2) ≠ 0, d'où x≠1 et x≠ -2
Aucune de ces 2 valeurs ne peut donc être solution.



5) S'il y a "x" en haut ET en bas: On fait un produit en croix pour mettre l'équation sur une seule ligne
equations8           equations9
Puis on résoud l'équation de type x2= a.

 


6) Si l'équation est sur une seule ligne du genre  ax2 + bx = 0: On factorise par x, pour obtenir un produit de facteurs:
equations11
Puis on utilise le théorème du produit de facteurs nul.

 


Attention, pour toutes les équations où x apparaît dans un dénominateur, il faut au préalable chercher les valeurs interdites ( les valeurs de x qui rendent le dénominateur nul). Ces valeurs ne pourront en aucun cas être solution.

 

 

 

Pour un entraînement efficace, pour vérifier que vous avez compris le chapitre et pour vous préparer au prochain contrôle, faites appel à mes services de cours par correspondance... Renseignez-vous    ICI.



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