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17 décembre 2013 2 17 /12 /décembre /2013 14:13

LOGA....ATCHOUM.

 

non, t'inquiète pas, ça va bien se passer.

 

Le logarithme est une fonction. Comme la fonction carrée, comme la fonction affine.

Sauf que ces dernières, on peut les calculer :  on sait faire les multiplications et les additions, donc on peut calculer l'image d'un nombre par une fonction carrée ou par une fonction affine. 

Ce n'est pas le cas de la fonction logarithme. Son calcul n'est pas faisable avec les opérations de base (+,-,x,:), il faut une calculatrice scientifique pour ça ( vos TI ou vos Casio sont vos meilleures copines, là, de suite.) OU un bon iphone qu'on regarde dans le sens de la longueur ( vérifie par toi meme : dans le sens de la hauteur, t'es au college, ta calculatrice sait faire les additions et les divisions, pas beaucoup plus. Tourne la de 90°, et te voila au lycée, avec une calculatrice scientifique. Il etait fort ce Steeve)

 

Histoire que t'aies quand même 2 ou 3 trucs à apprendre, il existe tout de même quelques valeurs spéciales de logarithmes dont on connait les images ou les antécédents. On peut utiliser ces valeurs spéifiques pour simplifier des calculs, écrire plus simplement des réponses.

 

La fonction logarithme a plusieurs facettes : (D I S CO youhou) : Pour te rassurer et t'emmener sereinement dans la vraie vie du logarithme népérien, tu dois savoir qu'il a plein de p'tits cousins : OUIIIIIII, il existe plein, plein, plein de logarithmes différents, on parle alors de logarithmes de base "a", "a" étant un réel.

on dit loga(x) : logarithme de base "a" de x. Ce logarithme là se résoud comme ceci : si loga(x)  = 12  alors x = a12.

 

( saute pas de joie n'en fais pas trop)

 

Au lycée, nous n'en n'apprenons que 2 dfférents: le logarithme de base e et le logarithme de base 10 ( le népérien et le décimal).

 

"e" est un nombre, comme Pi, c'est un irrationnel ( nombre décimal que l'on ne peut pas écrire sous la forme d'un quotient d'entier, le nombre de chiffres apres la virgule est infini). Il vaut à peu pres 2,17 ( il est bon de retenir la valeur approchée, ça aide).

 

Le logarithme de base "e" devrait s'écrire loge(x)

mais comme il s'appelle le logarithme népérien, nous l'écrivons ln(x).

Il vérifie donc la relation : ln (x) = y  alors y = ex.

 

Cette fonction, f(x) = ln(x), a quelques caractéstiques à connaître par coeur :

  • Elle est définie sur ]0 ; +∞[, ce qui veut dire qu'elle n'existe pas pour  x inférieur à zéro
  • Elle est strictement croissante et continue sur Df
  • ln (1) = 0 et   ln (e) = 1
  • en +∞,     lim ln (x) =  +∞
  • en 0,     lim ln (x) =  - ∞

 

Et puis, comme pour l'exponentielle, on te gratifie de quelques limites particulieres à connaitre :

limxlnx.jpg

limlnxsurx.jpg

 

Méthode pour se rappeler de ces limites:

1) il s'agit de limites qui, calculées directement, aboutissent à une forme indéterminée.

2) Il s'agit de limites qui combinent un "x" et un ln(x) soit par une division, soit par une multiplication.

3) Le résultat de la limite est trouvé en remplaçant x par 1.

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15 février 2012 3 15 /02 /février /2012 08:00

Grande découverte cette année en Terminale, les primitives et les intégrales de fonctions! Jusqu'à présent vous saviez calculer la dérivée d'une fonction, à présent vous allez devoir trouver sa primitive, c'est à dire faire le travail inverse.

 

A quoi ça sert?

Le but ultime est de calculer des aires que l'on ne serait pas capables de calculer par des formules. Toute forme géométrique composée de segments peut être découpée en formes connues ( triangles, trapèzes rectagles etc) pour en calculer l'aire. Mais lorsque le contour de la forme est courbe, et que ce n'est pas un arc de cercle, la seule méthode consiste à utiliser les intégrales. Sous certaines conditions à vérifier , l'aire cherchée sera égale à une intégrale à calculer.

 

Que dit le cours?

Il dit pas mal de choses, mais la formule principale est la suivante : " l'intégrale de f entre a et b est égale à la primitive de f calculée entre les bornes a et b", c'est à dire :
prim1

 

Ok.. mais c'est quoi, la primitive?

Et oui, il faut prendre les choses dans l'ordre. Pour calculer une aire, il faut calculer une intégrale. Pour calculer une intégrale, il faut trouver une primitive.

 

Cours : La primitive de f est la fonction F telle que F' = f


Bref, il faut trouver la fonction qui permet de retomber sur f lorsqu'on la dérive.
Exemple : f(x) = 2x ,   alors    F(x) = x2, puisque  (x2)' = 2x.

 

Mais la recherche de la primitive n'est pas toujours aussi évidente, il faut savoir jongler avec les expressions de f.
 

Exemple : f(x) = 10x4 .

La primitive sera 2x5 . Apprenons la méthode pour parvenir à ce résultat.
Certains apprendront un tableau des primitives, ce n'est pas ma méthode car au final, on se retrouve avec des élèves qui confondent leur tableau de primitives et leur tableau de dérivées, c'est dommage .

 

Nous n'allons utiliser QUE le tableau, déjà connu , des dérivées. Et nous allons, à chaque fois, nous demander à quel genre de dérivée nous pouvons faire correspondre f(x).


 → 1ère étape, les primitives en "x":


tableauderivees.gifTableau des dérivées en x

Exemple 1 : f(x) = 10x4 .   

f(x) est donc du genre "nxn-1" ( f est considérée comme une dérivée, n'oublions pas), qui est la dérivée de xn .

Donc n-1 = 4, d'où n=5.

Nous allons donc écrire f(x) sous la forme approchée  dont on connait exactement la primitive : f(x) ≈ nxn-1= 5x4  * 2.

On connait la primitive de 5x4 , il suffit donc de la multiplier par 2 pour obtenir celle de 10x4 .

F(x) = 2 * x5 =2x5.

 

Exemple 2 

prim2  du genreprim3
              prim4bis

Exemple 3

prim5 du genre  prim6
                 prim7

Exemple 4

prim8 du genre  prim9  , qui est la dérivée de prim10.
                   prim11

 

Trucs & Astuces à se rappeler pour les primitives en "x" :

 

  • La primitive de  xn   est  xn+1/(n+1) . Cela permet d'aller plus vite.

 

  • On n'oublie pas : le but est de savoir à quelle dérivée f(x) ressemble. Donc, on reste LOGIQUE !!
    • Si c'est une puissance, alors c'est "nxn-1" , la dérivée de xn,
    • si c'est une fraction avec x au dénominateur, c'est la dérivée de ln(x),
    • si c'est x2 au dénominateur alors c'est la dérivée de 1/x,
    • s'il y a une racine, alors obligatoirement c'est la fonction racine.

 

  • Le piège type : prim12

Cela ne ressemble à aucune dérivée que l'on connait. Il faut alors penser à séparer la fraction:
prim13
prim14
prim15

  • Si on a une fonction avec une puissance supérieure à 2 au dénominateur, on "remonte" alors le x pour que la fonction soit une puissance de x  :

prim16

 

→ 2ème étape, les primitives en en "u" et "v"


tabderivees2-copie-1Tableau des dérivées en u et v


On a barré en rouge les formules qui ne servent pas à la recherche de primitives. Parce qu'on ne trouvera JAMAIS dans un exercice une fonction du genre u'v + uv' dont il faut chercher la primitive. Pourquoi? parce que cette expression u'v+ uv' serait développée, réduite, bref, elle n'apparaitrait pas comme cela sur un sujet.

Donc, la fonction donnée ne correspondra jamais à u'v+uv', ni aux 2 autres barrées en rouge.
Comme précédemment, le but est de reconnaitre en f(x) la dérivée d'une des lignes du tableau.

 

Exemple 1 :   prim17a
donc par identification, on trouve u, et on trouve u' par calcul de la dérivée de u:

prim17b                  prim18

Exemple 2 :   prim19a 
donc par identification, on trouve u, et on trouve u' par calcul de la dérivée de u:
prim19b

On écrit alors f(x) sous la forme de la dérivée telle qu'elle est écrite dans le tableau, et on cherche le chiffre par lequel on doit multiplier l'expression pour retrouver f(x) exactement.


              prim20


Exemple 3:
  prim21
              prim23


Exemple 4 : prim24
         prim25
                  prim26
   

 

Trucs & Astuces à se rappeler pour les primitives en " u et v" :

 

On n'oublie pas : le but est de savoir à quelle dérivée f(x) ressemble.

  • Si c'est une expression "en ligne" ( pas de x au dénominateur), alors c'est obligatoirement  nun-1u' ,
  • S'il y a de l'exponentielle, alors c'est obligatoirement u'eu,
  • S'il y a une racine carré, c'est obligatoirement u'/2racine(u),
  • Si c'est une fraction avec x au dénominateur, 2 possibilités : soit c'est -u'/u2 ( la dérivée de 1/u) soit c'est u'/u (la dérivée de ln(u)).
    Pour les différencier, il faut simplement regarder si tout le dénominateur est au carré ou non.
    Si oui, c'est  -u'/u2, si non, c'est u'/u.

 

Bon courage !!

 

 

 

 

 

 



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20 décembre 2010 1 20 /12 /décembre /2010 07:00

Dans les exos traitant du pgcd (nommé d) et du ppcm (nommé m), les mêmes méthodes reviennent souvent.

 

On utilise les propriétés suivantes:

- si d = pgcd(a,b) alors il existe (a',b') € IN tels que a=da', b=db' et pgcd(a',b') = 1 ( a' et b' premiers entre eux)

- pgcd(a,b) x ppcm (a,b) = ab  soit donc dm = ab

 

On a donc a=da', b=db', ab = md
soit donc da'db' = md
d'ou d2a'b' = md
soit da'b' = m, avec a' et b' premiers entre eux.

 

Lorsque l'exercice demande de résoudre une équation, c'est à dire de trouver les couples (a,b) € IN tels que  " équation", voila dans quel ordre vous devez résoudre:


- Posez a=da', b=db',
- Remplacez a et b par da' et db' dans l'équation.
Vous obtenez une nouvelle équation en a',  b' , le but à présent est donc de trouver les couples (a', b').

Pour cela, on cherche les d qui sont possibles.
- On fait la liste des d possibles, d'où on trouve une liste des couples (a',b') possibles.
- On fait attention à ce que a' et b' soient toujours premiers entre eux, ce qui enleve en general quelques possibilités.
- Puis on trouve les couples (a,b) correspondants. 

On fait attention aux hypothèses ou contraintes données dans le texte (par exemple a<b ou a ne divise pas b), ce qui enlève encore quelques possibiliés.

Puis il y a les contraintes "cachées" :
-Une équation du type : 3a + 4b = 46 implique : 3a < 42 d'où a < 14, ou bien 4b < 43 d'où b < 11 (on rappelle que a et b sont des entiers non nuls).
-Une équation du type m2 - 2d2 = 12 implique que m2 = 12 + 2d2  doit être un carré "parfait" c'est à dire le carré d'un entier, de même pour 2d2 = m2 - 12.
-Une équation du type d(2ab + 3) = 48, implique que d doit etre pair, car 48 est pair, et  2ab + 3 est impair.

 

 

A vous !!

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14 décembre 2010 2 14 /12 /décembre /2010 16:32

 

Dans le chapitre des complexes, une grande part est faite à la géométrie. L'essentiel des exercices traitant de géométrie consistent à trouver des ensembles de points M d'affixe z tels que ceci ou tels que cela.
Beaucoup de ces exos sont également résolvables par le calcul, il faut simplement faire attention à l'énoncé pour savoir quelle méthode choisir.

 

  • Le cours, l'essentiel à savoir:

Soient 2 points A et B d'affixes zA et zB, formule pour calculer la distance AB :
CompG1

Soient 4 points A,B,C,D d'affixes zA, zB, zC, zD, formule pour l'angle orienté (AB, CD):
CompG2

 

  • Exercice type : Soit le complexe Z, déterminé en fonction de z par la formule :

CompG10

Les questions posées en général sont :
1) Interpréter géométriquement le module et un argument de Z
2) Trouver l'ensemble des points M d'affixe z tels que Z € IR, ou IR+, ou IR-
3) Trouver l'ensemble des points M d'affixe z tels que Z € Im purs
4) Trouver l'ensemble des points M d'affixe z tels que |Z| = 1

 

Comment répondre:

1) LE module car il n'y en a qu'1, et UN argument car il en existe une infinité à 2π près.

Cette question n'est QUE du cours.   On pose zA = 2 - 3i et zB = -1 + i, et zM = z
CompG6CompG7Le module de Z correspond au quotient des distances AM et BM, et un argument correspond à l'angle orienté (MB, MA)

 

2) Si Z € IR, alors Z se situe sur l'axe des abcisses. On ne peut rien dire sur son module, par contre son argument vaut 0 ou π.  On cherche donc z tel que arg(Z) = 0 ou π
Soit  CompG16.jpg
Donc M € (AB) \ {A,B}  ( M € à la droite (AB), privée des points A et B car si M=A ou M=B, il n'y a plus d'angle orienté )

 

Si Z € IR+, alors Z se situe sur l'axe des abcisses, à droite. On ne peut rien dire sur son module, par contre son argument vaut 0.  On cherche donc z tel que arg(Z) = 0.
Soit  CompG17.jpg
Donc M € (AB) \ [AB]  ( M € à la droite (AB), privée du segment [AB] pour que l'angle orienté soit nul)

 

Si Z € IR+, alors Z se situe sur l'axe des abcisses, à gauche. On ne peut rien dire sur son module, par contre son argument vaut  π.  On cherche donc z tel que arg(Z) =  π.
Soit  CompG18.jpg
Donc M €  [AB]  \ {A,B} ( M €  au segment [AB], privée des points A et B car si M=A ou M=B, il n'y a plus d'angle orienté)

 

3) Si Z € Im purs, alors Z se situe sur l'axe des ordonnées. On ne peut rien dire sur son module, par contre son argument vaut  π/2 ou -π/2. On cherche donc z tel que arg(Z) = π/2 ou -π/.
CompG19.jpg d'où  CompG20.jpg   (M €  au Cercle de diamètre [AB], privé des points A et B car si M=A ou M=B, il n'y a plus d'angle orienté)

 

4) |Z| = 1 : On cherche z tel que |Z| = 1
CompG15


Les questions 2 et 3 peuvent être résolues par le calcul : on remplace z par x+iy dans Z, puis on écrit Z sous forme algébrique en fonction de x et y.

2) On résoud Im(Z) = 0 et on trouve une équation de droite sous la forme y = ax + b , qui est l'équation de la droite (AB)
3) On résoud Re(Z) = 0 et on trouve une équation de cercle de centre I milieu de [AB] et de rayon AB/2.

 

A vous !!

 

 

Pour un entraînement efficace, pour vérifier que vous avez compris le chapitre et pour vous préparer au prochain contrôle, faites appel à mes services de cours par internet... Renseignez-vous    ICI.

 


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23 novembre 2010 2 23 /11 /novembre /2010 20:59
 

Le chapitre des complexes est vaste, ici nous nous intéressons à la résolution des équations du second degré dans C.

 

Pour savoir comment démarrer la résolution, il suffit de distinguer les 2 types d'équations que l'on trouve dans les exercices:

  • EqComp1
    avec a, b et c réels  => On résoud grâce au calcul du delta et aux formules apprises en 1°S.
    Si le Delta est négatif, on le rend positif en apposant devant le terme i2. On trouve alors 2 solutions complexes conjguées entre elles.
    Exemple:EqComp4
    Δ = 22 - 4x5x1 = -16 = 16i2
    EqComp6 
    EqComp7

  • EqComp2
    avec a, b ou c complexe (contient du i)  => on pose z=x+iy et on résoud pour trouver x et y.
    Exemple:EqComp8
    On remplace z par x+iy :EqComp9
    On développe et on réduit, en séparant partie réelle et partie imaginaire:
    EqComp10
    EqComp11
    On applique la propriété qui dit : Un complexe est nul si sa partie réelle est nulle et sa partie imaginaire est nulle. Ce qui donne le système suivant :
    EqComp12
    Ce n'est pas un système linéaire ( présence de puissances de x et de y), donc il n'y a pas de méthode dans le cours pour le résoudre. Il faut donc de l'astuce. On choisit l'équation la plus simple, c'est la deuxième, et on tente de la résoudre:
    EqComp13
    Puis on remplace par chaque valeur dans la première équation:
    si x = 0 : EqComp14
    On résoud cette équation en y, c'est un polymôme du 2d degré donc on calcule le Delta et on trouve les 2 racines si le Delta est positif. (Et oui, car attention, on résoud dans IR, car x et y sont des réels! )
    EqComp15

    Donc les 2 premières solutions de l'équation sont :
    img007.jpg
    si y = -1 : EqComp16.jpg
    On est dans IR car x et y sont des réels, donc il n'y a pas de solution (un carré est toujours positif dans IR).
    L'équation n'admet donc que 2 solutions, z1 et z2.

  • EqComp3
    Il y a z et son conjugué dans la même équation : On remplace z par x+iy et on résoud en x et y.
    Exemple: EqComp17
    On remplace par z = x + iy : ( x+iy )2 + 2 (x - iy ) + 5 = 0
    d'où:
     EqComp19
    Ce qui amène au système suivant à résoudre dans IR :
    EqComp20
    Comme précédemment, on choisit de résoudre l'équation la plus simple et on réintègre les solutions trouvées dans l'autre équation :
    EqComp21  
    si y = 0 : EqComp22
    On résoud cette équation en x, en calculant le Delta : Δ = 22- 4 x 5 x 1 = -15
    Attention, on ne fait pas :EqComp23car on est dans IR !
    Il n'y a donc pas de solution dans le cas où y = 0.
    si x = 1 : 1 - y2 +2 + 5 = 0
    donc EqComp25
    Les 2 solutions dans C de l'équation de départ sont donc :

    EqComp26

 

Voila, vous avez tout ce qu'il faut pour résoudre les équations du 2d degré dans C.

N'oubliez jamais que x et y doivent être des réels, qu'un tel type d'équation admet au maximum 4 solutions, et au minimum 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



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8 novembre 2010 1 08 /11 /novembre /2010 21:00

Dans les exercices types en T°S, apparaît une question au premier abord facile, mais qui bloque la plupart des élèves. On vous demande d'écrire f(α) d'une certaine façon, α étant la solution unique de l'équation g(x) = 0 ou g(x) =12, que vous avez trouvée dans une question précédente grâce au théorème de la bijection sur la fonction g de la partie A de l'exercice.

Ouf.

Oui, cette question parait facile, et elle peut l'être si on est méthodique.
Première partie de l'exercice, α est donc la solution de l'équation g(x) = 0 ( 0 le plus souvent...).
Dans la partie suivante de l'exo apparaît f(x) , dont l'expression est très compliquée, avec des ln(x), des exp(x), voire les 2. Et là, question 4b), on nous dit que f(α) peut s'écrire sous la forme f(α) = 3α + 2 ou un truc du même style, bref, de façon super simple.

 

Méthode pour trouver rapidement ce résultat:

- sur votre brouillon, vous écrivez f(α) en remplaçant x par α dans l'expression de départ de f(x),
- vous notez en dessous le f(α) que vous devez trouver,
- vous notez à côté que g(α) = 0 , en remplaçant x par α dans l'expression de g,
- Ensuite, vous comparez le f(α) que vous avez et le f(α) que vous voulez trouver, et vous repérez le terme le plus visible qui disparait. Souvent, c'est ln(α) ou exp(α) qui n'apparait plus dans l'expression demandée,
- dans l'équation g(α) = 0 , vous isolez le terme précédent de façon à l'écrire en fonction de α,
- Vous remplacez ce terme précédent dans f(α) par son écriture trouvée précédemment grâce à g.

 

Exemple : Données :
g(x) = ln(x) - x2 + 3         g(α) = 0         f(x) = xln(x) - 5x3 + 1

Montrer que f(α)  = - 4α3 - 3α + 1

- je note f(α) = αln(α) - 5α3 + 1
- je note "f(α) = - 4α3 - 3α + 1    ?"
- g(α) = ln(α) -α2 + 3 = 0

- Entre les 2 f(α), c'est ln(α) qui disparait
- dans g(α) : ln(α) - α2 + 3 = 0 alors ln(α) = α2 - 3
- je remplace dans le f(α) de départ : f(α) = α (α2 - 3) - 5α3 + 1= α3 - 3α - 5α3 + 1= - 4α3 - 3α + 1

 

 

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8 novembre 2010 1 08 /11 /novembre /2010 10:02

Lorsqu'on vous demande de calculer une limite, le calcul direct aboutit parfois à une forme indéterminée. Les 4 formes indéterminées sont limpart1
Que faire si on tombe sur une forme indéterminée?

Un seul théorème existe: Si c'est une fraction rationnelle, et que l'on trouve limpart14.jpg, on utilise le théorème des termes de plus haut degré vu en 1°S.
Exemple: limpart2

Dans tous les autres cas, il suffit d'être méthodique.

En T°S évidemment la plupart des limites à calculer sont des limites de fonctions contenant de l'exponentielle et du logarithme népérien. Lorsqu'on tombe sur une FI, le but est de transformer judicieusement l'écriture de f(x) de façon à retrouver une des 4 limites particulières du cours:
limpart4

  • Si on tombe sur une FI du genre 0 x : C'est le produit qui pose problème, alors on essaie de développer l'expression.

Exemple: limpart3

limpart6
Changeons l'expression de f(x), comme c'est le produit qui pose problème, développons l'expression en x :
limpart9
limpart10

 

  • Si on tombe sur une FI du genre +∞-∞ : c'est la soustraction/addition qui pose problème, alors on essaie de factoriser l'expression. On factorise soit par ex, soit par la plus grande puissance de x.

Exemple: limpart15
limpart16
On change donc l'expression de f(x) : on factorise par la plus grande puissance de x:
limpart17
limpart18

  • Si on tombe sur une FI du genre limpart14.jpg, on factorise en haut et en bas soit par ln(x), soit par la plus grande puissance de x, soit par ex.

 

Exemple:  limpart7
limpart8
On factorise en haut et en bas par ex :
 limpart11    
limpart12
limpart13

Astuces supplémentaires :

-Le cours donne 4 limites particulières. On peut donc utiliser l'inverse de ces limites.
Exemple:  limpart19
limpart20
On change l'expression de f(x) :
limpart21
limpart22
-On peut procéder à des changements de variables:
Exemple:    limpart27
limpart28
limpart29
limpart30
-On peut "arranger" les expressions en les multipliant ou divisant par un nombre:
Exemple:  limpart23   limpart24

On effectue ensuite le changement de variable suivant :
limpart25

D'où : limpart26


 

 

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28 octobre 2010 4 28 /10 /octobre /2010 08:00

Dans le chapitre exponentielle, 3 limites particulières sont à connaître par coeur.  Elles sont absolument nécessaires, et leur utilisation est systématique dans tous les contrôles, ainsi qu'au Bac.

Pour se souvenir de ces limites particulières, il suffit de se poser les bonnes questions:

  • La limite de xex en +∞ ne pose aucun problème puisque cela fait +∞ x +∞ = +∞. Donc la limite particulière est en -∞.
  • Idem pour ex/x : en -∞ cela ne pose aucun problème, alors qu'en +∞, cela fait +∞/+∞, ce qui est une forme indéterminée.

Pour retenir le résultat , il suffit de tracer la fonction y=x sur le graphe de ex. On voit que y=x est toujours située en dessous de ex, donc entre les 2, c'est ex qui l'emporte. Donc, pour ces limites particulières, je les calcule en remplaçant x par 1.

 

Leurs démonstrations constituent un sujet de ROC.

 

Démonstration1

ROCLimPart2-copie-1

Schéma de démonstration :

ROCexpSchema2

 

 

Démonstration2

 ROCexpLimPart2

Schéma de démonstration :

ROCexpSchema1

 

Démonstration3

ROCexpLimPart1

 

 

Pour un entraînement efficace, pour vérifier que vous avez compris le chapitre et pour vous préparer au prochain contrôle, faites appel à mes services de cours par correspondance... Renseignez-vous    ICI.

 

 


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27 octobre 2010 3 27 /10 /octobre /2010 19:25

Dans le chapitre sur la fonction exponentielle, il n'y a pas grand chose à savoir si ce n'est: 

ex toujours positive,  e0 = 1 et e1 = eexp-x-.png

  • (ex)' = ex
  • (eu(x))' = u'eu(x)

ex croissante sur IR
lim ex = +∞   et    lim ex = 0 
x →  +∞                    x → - ∞

  • eab = (ea)b
  • ea+b=eaxeb
  • e-b=1/eb
  • ea-b=ea/eb

Et les limites particulières démontrées dans un autre article.

 

Ce chapitre est sujet à de nombreux ROC. Les démonstrations de théorème sont difficiles à retenir. Il faut être méthodique et les ré-écrire sur des fiches en notant le schéma de démonstration.

 

ROC n°1 sur l'unicité:
Il existe une unique fonction f(x) qui ne s'annule jamais, telle que f'(x) = f(x) et f(0)=1

  • Montrons donc qu'une telle fonction (qui verifie f'=f et f(0)=1) ne s'annule pas sur IR

 

Schéma de démonstration :

ROCexpSchema3

Démonstration:

ROCexp1.JPG

 

  • Montrons maintenant que cette fonction est unique :

Schéma de démonstration

ROCexpSchema4 

 

Démonstration:

ROCexptheoreme-copie-1.jpg

 

 

La suite des ROC dans les autres articles de la catégorie Maths Terminale.

 

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Published by Joséphine - dans Maths T°S
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13 octobre 2010 3 13 /10 /octobre /2010 06:00

Une nouvelle méthode de démonstration débarque cette année : la récurrence. Elle s'applique au chapitre des suites.

 

Le principe :

On montre qu'une proposition est vraie à un rang (le premier en général).
Puis, on fait l'hypothèse qu'il existe un rang quelconque, que l'on nomme k, où la proposition est vrai, et on démontre que, sachant cela, la proposition est vraie au rang suivant k+1.

Du coup, comme la proposition est vraie au rang 1, alors elle est vraie au rang 2,
Et comme la proposition est vraie au rang 2, alors elle est vraie au rang 3,
Et comme la proposition est vraie au rang 3, alors elle est vraie au rang 4,
et ainsi de suite....
La proposition est donc vraie à tous les rangs ! Youpi c'est trop facile !!! ............Non?

 

La rédaction:

Elle diffère suivant les profs, mais au final elles veulent toutes dire la même chose :

Soit Pn la proposition au rang n : "........................................."

1) Montrons que P0 est vraie:

2) Supposons qu'il existe un k dans IN tel que Pk est vraie , montrons alors que Pk+1 est vraie.

3) On a montré que Pn est vraie au premier rang, et qu'elle est héréditaire, donc Pn est vraie pour tout n dans IN. 

 

La méthode:  

  • Première étape, montrer que la proposition est vraie au 1er rang :

En général c'est très facile, sauf que ça l'est tellement qu'on a parfois des difficultés à la rédiger! Il faut montrer que la proposition est vraie au 1er rang, donc pour n=0 si n€IN, pour n=1 si n€IN*, ou même pour n=6 si n>5 ! 

  • Exemple 1 : Montrer que pour tout n de IN*, 0≤ Un ≤1:
    rec1
    rec2
    C'est ok, 0≤ U1 ≤1
  • Exemple 2 : Prouver l'égalité :
    rec3
    rec4
    On a bien notre égalité au premier rang.
  • Exemple 3 : Prouver l'inégalité :
         rec5
       rec6
        On a bien notre inégalité au premier rang.
  • 2iè étape, l'hérédité:

On commence par rédiger l'étape telle qu'elle est écrite ci-dessus. Cette étape est la plus compliquée mais faite avec méthode elle peut devenir très simple.

  • Exemple 1 : Prouver l'égalité :

                                   rec3

On ne laisse pas le sigle Somme, on écrire le terme de gauche sous forme d'une addition.

rec16

On écrit Pk et Pk+1 l'une en dessous de l'autre. La première égalité est l'hypothèse de récurrence que l'on a le droit d'utiliser, la deuxième égalité est celle que l'on cherche à trouver.

 On suit le schéma de démonstration suivant :

rec8

On part du terme de gauche de la conclusion, on l'écrit en fonction du terme de gauche de l'hypothèse, on utilise l'hypothèse, et on conclue pour arriver au terme de droite de la conclusion.

Début de la démonstration:
rec13
Or     rec14
On a obtenu le terme de droite de Pk+1, l'étape 2 est terminée.

  • Exemple 2 : Prouver l'égalité:

                                    rec17

On ne laisse pas le sigle Somme, on écrire le terme de gauche sous forme d'une addition.

rec18

On écrit Pk et Pk+1 l'une en dessous de l'autre, puis on suit le schéma de démonstration numéroté.

Début de la démonstration:
rec19
Il ne reste plus qu'à montrer que les expressions suivantes sont égales:
rec20
Pour cela, il suffit de développer et réduire les 2 termes.

  • 3iè étape, on conclue par une simple rédaction puisque tout le travail de démonstration a été fait.
    P0 est vérifiée, Pn est héréditaire, donc pour tout n, Pn est vérifiée.

Astuces diverses:

- On respecte le schéma de l'étape 2.

- On se simplifie la vie : au lieu de s'arracher les cheveux à essayer de factoriser une expression pour montrer qu'elle est égale à une autre, on développe les 2 expressions. Un exemple est dans la section précédente.

- On n'oublie pas que qn+1 = q x qn

- On n'oublie pas que n est toujours positif ou nul.

 

A faire soi-même :

Montrer que  rec5

Montrer que  rec23
Montrer que  rec24
Montrer que  rec25

 

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